位形和位置
位形与位置的概念
在下面的问题中，不同于Newton力学中仅仅研究单个或几个物体的运动，我们将会考虑由许多质点组成的系统，并研究这种系统在不同环境下的变化。为此我们需要提出一个新的概念，也就是位形来描述这一过程。
对于单个质点而言，我们只需要用一组坐标即可确定其位置，例如直角坐标\((x, y, z)\)或极坐标\((r, \theta, \varphi)\)。而对于一个包含\(n\)个质点的系统，我们则需要分别描述每个质点的位置，例如\((x_{1}, y_{1}, z_{1})\)、\(\dots\)、\((x_{n}, y_{n}, z_{n})\)。就像单个质点时我们可以使用极坐标来代替直角坐标，我们也可以通过选取其他的坐标（不只是极坐标，任何可以描述质点位置的独立变量均可）来简化问题。这样我们就得到了一组描述系统的变量 \[ (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{3n}) \] 其中，\(q_{i}\)被称为广义坐标。如果我们使用\(u_{i},\ i = 1, 2, \dots, 3n\)来描述\(3n\)个直角坐标，那么广义坐标与直角坐标之间的坐标变换关系为 \[ u_{i} = u_{i}(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{3n}, t) \] 在下面我们会看到，实际上坐标变换关系中不需要如此多的变量，只要选出足够的独立变量即可。 ## 位形空间 在三维空间中，我们需要用\(3n\)个坐标，并且使用\(n\)个点来描述具有\(n\)个质点的系统。如果我们换一种角度来看待问题，那么在\(3n\)维空间中我们只需要1个点来描述具有\(n\)个质点的体系。我们将由此定义出来的空间称为位形空间，对于这种空间我们在后面会更加详细分析。 # 约束 约束是对于系统状态的限制。其一般数学表示形式为 \[ f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{3n};\ \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{3n};\ t) = 0 \] 其中，\(q_{i}\)为广义坐标，\(\dot{q}_{i}\)为广义速度。
按照所含变量的类型，我们可以给出如下定义
定义：
按照变量的类型，我们将约束分为完整约束和非完整约束：
- 完整约束：完整约束是仅包含广义坐标和时间的约束，其形式如下 \[ f(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{3n};\ t) = 0 \]
- 非完整约束：非完整约束是包含广义坐标、广义速度和时间的约束，其形式为 \[ f(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{3n};\ \dot{u}_{1}, \dot{u}_{2}, \dots, \dot{u}_{3n};\ t) = 0 \]
我们还可以将约束分为以下两类：
- 定常约束：不显式含时的约束
- 非定常约束：显式含时的约束
之所以要划分完整约束和非完整约束，是因为这两种划分具有不同的性质，也即下面的命题
命题：
对于\(n\)个质点的力学系统，假设有\(3n\)个广义坐标，以及\(m\)个完整约束与\(k\)个非完整约束，那么
- 独立广义坐标有\(3n - m\)个
- 独立广义速度有\(3n - k - m\)个
看起来，独立广义速度似乎的减少似乎无法降低我们分析系统的难度，但实际上独立广义坐标和独立广义速度的作用是不同的。独立广义坐标的个数\(3n - m\)是力学系统在有限运动中的自由度，也就是唯一确定一个系统的位形必须给出的独立变量数量。而独立广义速度的个数表示力学系统在无限小运动中的自由度。
虚功原理
虚位移
对于含\(n\)个质点的系统中的质点\(i\)，我们将其位移的变分记为\(\delta \boldsymbol{r}_{i},\ i = 1, 2, \dots, n\)，并将其称为虚位移。之所以使用位移的变分，是因为我们需要考虑所有可能的位移，而真实位移仅仅是其中的一个。需要注意的是，虚位移需要满足约束条件，违反约束条件的虚位移不存在。
引理：
假设含\(n\)个质点的系统中存在\(m\)个完整约束 \[ f_{j}(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \dots, \boldsymbol{r}_{n};\ t) = 0,\quad j = 1, 2, \dots, m \] 那么对于虚位移\(\delta \boldsymbol{r}_{i},\ i = 1, 2, \dots, n\)，有 \[ \sum\limits_{i = 1}^{n}\nabla_{i}f_{j} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} = 0,\quad j = 1, 2, \dots, m \]
证明：
由于有虚位移\(\delta \boldsymbol{r}_{i},\ i = 1, 2, \dots, n\)，因此其必须满足 \[ f_{j}(\boldsymbol{r}_{1} + \delta \boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2} + \delta\boldsymbol{r}_{2}, \dots, \boldsymbol{r}_{n} + \delta \boldsymbol{r}_{n};\ t) = 0,\quad j = 1, 2, \dots, j \] 由多元函数Taylor展开不难得到 \[ \begin{aligned} f_{j}(\boldsymbol{r}_{1} + \delta \boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2} + \delta\boldsymbol{r}_{2}, \dots, \boldsymbol{r}_{n} + \delta \boldsymbol{r}_{n};\ t) & \approx f_{j}(\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \dots, \boldsymbol{r}_{n};\ t) \\ & \quad+ \sum\limits_{i = 1}^{n}\nabla_{i}f_{j} \cdot \delta\boldsymbol{r}_{i} \end{aligned}\quad j = 1, 2, \dots, j \] 因为添加虚位移前后的约束方程均为0，因此我们有 \[ \sum\limits_{i = 1}^{n}\nabla_{i}f_{j} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} = 0,\quad j = 1, 2, \dots, m \]
理想约束
在Newton中，一切影响质点运动的因素都被归结为力，因此约束也可以视为一种力。对于\(n\)质点系统，我们将质点\(i\)所受约束力记为\(\boldsymbol{N}_{i}\)，而其虚位移为\(\delta \boldsymbol{r}_{i}\)，这样约束力对于系统的虚功（因为位移不是实在的，所以我们将功称为虚功）为 \[ \delta W = \sum\limits_{i = 1}^{n}\boldsymbol{N}_{i}\cdot \delta\boldsymbol{r}_{i} \] 由此我们可以给出如下定义
定义：
如果约束力的虚功为0，即 \[ \sum\limits_{i = 1}^{n}\boldsymbol{N}_{i}\cdot \delta\boldsymbol{r}_{i} = 0 \] 那么我们将这种约束称为理想约束。
有许多约束都属于理想约束，以下是几个常见的例子
光滑曲面：
如果质点沿着固定的光滑曲面运动，曲面方程为 \[ f(x, y, z) = 0 \] 由于虚位移必须满足约束，因此虚位移必须沿着曲面的切平面方向。而由于曲面是光滑的，因此曲面对于质点的约束力只能是沿法线方向。这样，约束力为 \[ \boldsymbol{N} = \lambda\left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z} \right) \] 因此 \[ \begin{aligned} \delta W & = \boldsymbol{N} \cdot \delta \boldsymbol{r} \\ & = \lambda \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \delta x + \dfrac{\partial f}{\partial y} \delta y + \dfrac{\partial f}{\partial z} \delta z\right) \end{aligned} \] 由于虚位移与平面满足 \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \delta x + \dfrac{\partial f}{\partial y} \delta y + \dfrac{\partial f}{\partial z} \delta z = 0 \] 因此\(\delta W = 0\)
虚功原理
我们先给出虚功原理，然后给出推导
虚功原理：
如果一个处于平衡状态的力学系统中只有理想约束，那么作用于该力学系统的所有主动力的虚功之和为0，即 \[ \delta W = \sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} = 0 \]
证明：
如果力学系统处于平衡状态，那么对于质点\(i\)而言，其所受主动力\(\boldsymbol{F}_{i}\)和所受约束力\(N_{i}\)满足 \[ \boldsymbol{F}_{i} + \boldsymbol{N}_{i} = 0 \] 如果假设质点\(i\)的虚位移为\(\delta \boldsymbol{r}_{i}\)，那么合力作用于质点\(i\)的虚功为 \[ \delta W_{i} = \left( \boldsymbol{F}_{i} + \boldsymbol{N}_{i} \right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} = 0 \] 对所有质点求和可得 \[ \delta W = \sum\limits_{i = 1}^{n} \left( \boldsymbol{F}_{i} + \boldsymbol{N}_{i} \right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} = 0 \] 由于在理想约束条件下\(\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{n}\boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta\boldsymbol{r}_{i} = 0\)，因此 \[ \delta W = \sum\limits_{i = 1}^{n}\boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} = 0 \]
广义坐标下的虚功原理
由于约束的存在，直角坐标往往不是全部独立的坐标，因此如果使用广义坐标，我们就可以使得坐标完全独立。我们先给出广义坐标下的虚功原理，然后再给出推导
广义坐标下的虚功原理：
对于\(s\)个独立的广义坐标，有 \[ \delta W = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}Q_{\alpha}\delta q_{\alpha} = 0 \] 其中，\(\displaystyle Q_{\alpha} = \sum\limits_{i = 1}^{n}\boldsymbol{F}_{i} \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}\)为广义力。
证明：
我们假设任何一个质点的径矢\(\boldsymbol{r}_{i}\)可以用\(s\)个独立的广义坐标表示 \[ \boldsymbol{r}_{i} = \boldsymbol{r}_{i}(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s};\ t),\quad i = 1, 2, \dots, n \] 这样原本的虚位移可以表示为 \[ \delta\boldsymbol{r}_{i} = \sum\limits_{\alpha = 1}^{n} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}\delta q_{\alpha} \] 带入原本的虚功原理表达式可得 \[ \begin{aligned} \delta W & = \sum\limits_{i = 1}^{n}\boldsymbol{F}_{i} \cdot \left( \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\dfrac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha} \right) \\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}} \right) \delta q_{\alpha} = 0 \\ \end{aligned} \] 将广义力表达式\(\displaystyle Q_{\alpha} = \sum\limits_{i = 1}^{n}\boldsymbol{F}_{i} \cdot \dfrac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{\alpha}}\)带入可得 \[ \delta W = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}Q_{\alpha}\delta q_{\alpha} = 0 \]
d'Alembert原理
可以将d'Alembert原理作为静力学中虚功原理在动力学中的推广。
d'Alembert原理：
如果一个力学系统重只有理想约束，那么作用于系统的所有主动力与惯性力的虚功之和为0，即 \[ \sum\limits_{i = 1}^{n}\left( \boldsymbol{F}_{i} - m_{i}\mathrm{d}ot{\boldsymbol{r}} \right) \cdot \delta \boldsymbol{r}_{i} = 0 \]
证明：
按照Newton运动方程，对于质点\(i\)我们有 \[ \boldsymbol{F}_{i} + \boldsymbol{N}_{i} = m\ddot{\boldsymbol{r}} \] 如果把\(-m\ddot{\boldsymbol{r}}\)理解为惯性力，那么有 \[ \boldsymbol{F}_{i} + \boldsymbol{N}_{i} - m\ddot{\boldsymbol{r}} = 0 \] 按照之前推导虚功原理的过程即可得到结果。