整数的进制转换
十进制向\(k\)进制转换
为了考虑\(k\)进制的本质，我们先来思考这样一个问题：
当我们有一大堆苹果时，我们如何数出它们的数量？
我们当然可以一个一个数，每数一个就发明一个数字记下来。这样的话，当我们有几百个苹果的时候，可能相对于数苹果，我们花在发明新的计数符号上的时间更多。为了避免这种情况，我们可以将苹果分组。比如每当数到10个苹果，我们就找一个袋子将其装起来。而当装苹果的袋子攒够10个，我们就找一个箱子将其装起来。
这样，我们只需要发明0~9这10个计数符号（也就是数字），而每当超过9就向前进1位，并重新计数。这就是进制的本质。
因此，当我们将一个数从十进制向\(k\)进制转换时，我们需要打破之前“装苹果的袋子和箱子”，并重新数数，每当数到\(k\)个就用袋子装起来。这也就是说，在进行进制转换时，我们需要将十进制的数除以\(k\)。第一次除法得到的是装袋剩下的苹果数和苹果袋数，也就是\(k\)进制的“个位数”和暂时的“十位数”（这里只是借用了“十位数”的名字，“暂时”指的是真正的“十位数”应当为装箱后剩下的苹果数，也就是再除一次\(k\)得到的余数）。接着，第二次对“十位数”的除法能得到真正的“十位数”和暂时的百位数。就这样一直做除法，直到商为0。
下面是一个例子
例：将123转换为2进制
解：123/2=61......1（“个位”）
61/2=30......1（“十位”）
30/2=15......0（“百位”）
15/2=7......1
7/2=3......1
3/2=1......1
1/2=0......1
这样，最下方的余数为最左边的数，而最上面的余数为最右边的数。由此我们可以得到 \[ (123)_{10} = (1111011)_{2} \]
\(k\)进制转换十进制
类似地，我们也可以用\(k\)进制的数除以\(k\)进制的10，从而得到对应的十进制数。比如下面这个例子
例：将\((1111011)_{2}\)转换为十进制
解：由于\((10)_{10}=(1010)_{2}\)，因此1111011/1010=1100...11（均为二进制数）
1100/1010=1...10
1/1010=0...1
由此可以得到\((1111011)_{2}=(01\ 10\ 11)_{10}\)，将\((01)_{2}\)、\((10)_{2}\)、\((11)_{2}\)分别转换为1、2、3后即为\((123)_{10}\)。
但我们马上会发现一个困难的事情，那就是我们很难进行\(k\)进制除法。相比于此，我们有一种很简单的方法。由于\(k\)进制的第\(n\)位表示\(k^{n-1}\)的个数（比如十进制的第二位表示10的个数），因此\(k\)进制数\((a_{n}...a_{2}a_{1})_{k} = \sum\limits_{i = i}^{n}a_{i}k^{i - 1}\)
小数的进制转换
十进制向\(k\)进制转换
要思考这个问题，首先我们需要明确\(k\)进制的小数含义。例如，在三进制中，\((0.1)_{3}\)与十进制中的\((1/3)_{10}\)相等。
同时，在十进制中，小数的第一位“十分位”表示这个数是在十分之几之间。比如0.56中的5表示这个数大于\(\dfrac{5}{10}\)，但小于\(\dfrac{6}{10}\)。
因此，如果我们想要把十进制小数转换为\(k\)进制小数，就需要思考这个十进制小数在\(k\)进制小数的哪个区间。下面我们以0.25转换为三进制为例，探究转换方法。
例：将\((0.25)_{10}\)转换为三进制
解：首先，\(0.25\)小于\(\dfrac{1}{3}\)，因此可以得到\((0.25)_{10} = (0.0...)_{3}\)
然后，由于\(0.25 \in [\dfrac{2}{9}, \dfrac{3}{9}]\)，因此\((0.25)_{10} = (0.02...)_{3}\)
通过这种方法，我们可以得到\((0.25)_{10} = (0.020202...)_{3}\)
实际上，上面的步骤就是在一步步寻找十进制数0.25在\([0, 1]\)上由\(k\)等分点、\(k^{2}\)等分点...\(k^{n}\)等分点分割成的哪一部分。因此，我们可以考虑一种在此基础上的简便方法。
在求三进制小数“十分位”时，我们可以选择将十进制数乘三。这实际上就是将原本长为\(\dfrac{1}{3}\)的间隔映射到长度为\(1\)的间隔。如果\(0.25\)原本属于\([0, \dfrac{1}{3}]\)这个间隔，那么其在乘3放大后应当属于\([0, 1]\)这个间隔。因此，在乘3后，十进制个位数即为三进制的“十分位”。
对于第一次乘3后得到的小数的小数部分，我们也可以用相似的步骤接着乘3，然后取整数部分作为三进制“十分位”。这是因为要得到三进制“十分位”，需要考察这个十进制数位于九等分点形成的哪个区间。在第一次乘3后，九等分点形成的间隔变为了长为\(\dfrac{1}{3}\)的间隔，因此我们可以接着构造类似的映射，将长为\(\dfrac{1}{3}\)的间隔映射为长为\(1\)的映射。
用这个新的方法，我们可以重新求出\((0.25)_{10}\)对应的三进制数
例：将\((0.25)_{10}\)转化为三进制数
解：0.25*3=0.75
0.75*3=2.25
0.25*3=0.75
0.75*3=2.25
由此不难看出\((0.25)_{10} = (0.020202...)_{3}\)