一阶微分方程
一个一阶微分方程可以写为 \[ F(t, x, \dot{x}) = 0 \] 如果自变量\(t\)的函数\(x = \varphi(t)\)在\(t\in(r_{1}, r_{2})\)上有定义，且\(F(t, \varphi(t), \dot{ \varphi}(t)) = 0\)成立，那么\(x = \varphi(t)\)为\(F(t, x, \dot{x}) = 0\)的解。
在某些情况下，我们可以将一阶方程写为 \[ \dot{x} = f(t, x) \] 此时，我们称上式为解出导数的微分方程。对于上式的解\(x = \varphi(t)\)，其在\(x-t\)平面上表示为曲线，我们称这种曲线为积分曲线。
存在与唯一性定理
下面不加证明地给出存在和唯一性定理
存在与唯一性定理：
对于给定的微分方程 \[ \dot{x} = f(t, x) \] 如果\(f(t, x)\)在某个开集\(\Gamma\)上有定义，且在整个开集\(\Gamma\)上，\(f(t, x)\)与\(\dfrac{\partial f}{\partial t}\)都是\(t\)与\(x\)的连续函数，那么：
（存在性定理）对于\(\forall (t_{0}, x_{0}) \in \Gamma\)，\(\dot{x} = f(t, x)\)都存在解\(x = \varphi(t)\)，满足 \[ \varphi(t_{0}) = x_{0} \]
（唯一性定理）如果\(x = \varphi(t)\)与\(x = \psi(t)\)都是\(\dot{x} = f(t, x)\)的解，那么只要某个\(t = t_{0}\)时有 \[ \psi(t_{0}) = \varphi(t_{0}) \] 那么对于二者均存在定义的变量\(t\)的区间，\(\psi(t) = \varphi(t)\)恒成立。
我们将 \(\varphi(t_{0}) = x_{0}\) 称为初始条件，那么此时存在与唯一性定理的意义为：满足相同初始条件的解相同。换言之，对于 \(\forall (t_{0}, x_{0}) \in \Gamma\)，有且只有一条满足 \(\dot{x} = f(t, x)\) 的积分曲线通过。
下面给出延拓的定义：
函数延拓：
如果一个区间\((s_{1}, s_{2})\)完全包含了另一个空间\((t_{1}, t_{2})\)，那么我们定义，\((s_{1}, s_{2})\)上的解\(x = \psi(t)\)为\((t_{1}, t_{2})\)上的解\(x = \varphi(t)\)的延拓。
既不能向左，也不能向右延拓的解被称为“不可延拓的解”。每一个解都可以延拓至不可延拓，此时集合\(\Gamma\)中每一点都只有一条积分曲线通过。
一些初等的求积分方法
全微分方程
对于方程 \[ \dfrac{ \mathrm{d} x}{ \mathrm{d} t} = \dfrac{g(t, x)}{h(t, x)} \] 如果我们假设\(g(t, x)\)与\(h(t, x)\)在\(\Gamma\)上都有定义且连续，那么原方程可以变为 \[ h(t, x) \mathrm{d} x - g(t, x) \mathrm{d} t = 0 \] 如果此时\(h(t, x) \mathrm{d} x - g(t, x) \mathrm{d} t\)在\(\Gamma\)上为全微分，那么存在函数\(F(t, x)\)满足 \[ \mathrm{d} F = h(t, x) \mathrm{d} x - g(t, x) \mathrm{d} t = \left [ h(t, x)\dfrac{ \mathrm{d} x}{ \mathrm{d} t} - g(t, x) \right ] \mathrm{d} t \] 这样 \[ F(t, x) = c \] 其中，\(c\)为常数。此时，\(F(t, x) = c\)的解\(x = \varphi(t)\)为原方程的解。
线性方程
我们以一阶线性方程为例。一阶线性方程是形如 \[ \dot{x} = a(t)x + b(t) \] 的方程。如果\(a(t)\)和\(b(t)\)在某区间\((r_{1}, r_{2})\)上连续且有定义，那么就满足了存在与唯一性定理的条件。为了求出非齐次的线性方程，我们先考虑一阶线性齐次方程 \[ \dot{x} = a(t)x \] 易得此方程的解为 \[ x(t) = C_{1} \mathrm{e}^{ \int a(t) \mathrm{d} t} \] 我们现在假设\(C_{1}\)为\(t\)的函数，那么将上式对\(t\)求导可得 \[ \dot{x} = \dot{C}_{1} \mathrm{e}^{ \int a(t) \mathrm{d} t} + C_{1}(t)a(t) \mathrm{e}^{ \int a(t) \mathrm{d} t} \] 将其代入原方程可以得到 \[ \dot{C}_{1} \mathrm{e}^{ \int a(t) \mathrm{d} t} + C_{1}(t)a(t) \mathrm{e}^{ \int a(t) \mathrm{d} t} - a(t)C_{1}(t) \mathrm{e}^{ \int a(t) \mathrm{d} t} - b(t) = 0 \] 由此可得 \[ C_{1}(t) = \int b(t) \mathrm{e}^{- \int a(t) \mathrm{d} t} \mathrm{d} t + C_{2} \] 因此，原来的一阶线性非齐次方程的解为 \[ x = \mathrm{e}^{ \int_{t_{0}}^{t} a(\tau) \mathrm{d} \tau} \left ( x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathrm{e}^{- \int_{t_{0}}^{t} a(s) \mathrm{d} s} b(\tau) \mathrm{d} \tau \right ) \] 下面的证明表明，原方程的所有解都满足上式的形式。
假设\(x = \varphi(t)\)为原方程定义在\((s_{1}, s_{2})\)上的任意一个解，这个区间被\((r_{1}, r_{2})\)包含。假设\((\tau_{0}, \xi_{0})\)为解\(x = \varphi(t)\)的初始值，将其代入通解中可以得到 \[ \left ( x_{0} + \int_{t_{0}}^{\tau_{0}} \mathrm{e}^{- \int_{t_{0}}^{\tau} a(s) \mathrm{d} s} b(\tau) \mathrm{d} \tau \right ) \mathrm{e}^{ \int_{t_{0}}^{\tau_{0}} a(\tau) \mathrm{d} \tau} = \xi_{0} \] 由于上式只有\(x_{0}\)一个未知数，其他均为常数，因此对于任意的\((\tau_{0}, \xi_{0})\)，可以解出\(x_{0}\)。此时，我们假设 \[ \psi(t) = \left ( x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \mathrm{e}^{- \int_{t_{0}}^{\tau} a(s) \mathrm{d} s} b(\tau) \mathrm{d} \tau \right ) \mathrm{e}^{ \int_{t_{0}}^{t} a(\tau) \mathrm{d} \tau} \] 通过代入可以证明上式为解，同时有\(\psi(\tau_{0}) = \varphi(\tau_{0}) = \xi_{0}\)，因此根据唯一性定理，有\(\psi(t) = \varphi(t)\)。
存在与唯一性定理的叙述
标准常微分方程组：
如果常微分方程组形如 \[ \dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}) \] 其中，\(t\)为自变量，\(\boldsymbol{x}\)为\(t\)的函数，而\(f(t, \boldsymbol{x})\)是定义在\(n + 1\)维空间中某一个空集\(\Gamma\)的函数。如果\(\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})\)与\(\dfrac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial x_{i}} \quad (i = 1, \dots, n)\)在\(\Gamma\)上存在并连续，那么我们称这种常微分方程组为标准常微分方程组。
如果\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)\)在\((r_{1}, r_{2})\)上有定义，且满足上述方程组，那么我们称\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)\)为上述方程组的解，而\((r_{1}, r_{2})\)称为解的定义区间。
下面是标准常微分方程组的存在与唯一性定理：
标准常微分方程组的存在与唯一性定理： 1. （存在性定理）对于集合\(\Gamma\)中每一点\((t_{0}, \boldsymbol{x}_{0})\)，存在标准方程组 \[ \dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}) \] 定义在含有\(t_{0}\)的某区间\((t_{1}, t_{2})\)上的解 \[ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi}(t) \] 且满足 \[ \boldsymbol{\varphi}(t_{0}) = x_{0} \]
- （唯一性定理）如果标准方程组有两个解\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)\)与\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)\)，满足 \[ \boldsymbol{\varphi}(t_{0}) = \boldsymbol{\psi}(t_{0}) \] 并且每个解的定义区间内都有\(t_{0}\)，那么这两个解在其公共定义区间内处处相等。
类似地，我们引入延拓的概念
延拓函数：
假设\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)\)为方程组定义在区间\((r_{1}, r_{2})\)的解，而\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\psi}(t)\)为定义在\((s_{1}, s_{2})\)上的解。如果\((s_{1}, s_{2})\)包含了\((r_{1}, r_{2})\)，并且在\((r_{1}, r_{2})\)上，\(\boldsymbol{\varphi}(t) =\boldsymbol{\psi}(t)\)，那么我们称\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\psi}(t)\)为\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi}(t)\)的延拓。
将对于一般的标准常微分方程的存在与唯一性定理，应用于标准线性方程组，可以得到如下定理
标准线性方程组的存在性定理：
对于标准线性方程组 \[ \dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{a}(t)\boldsymbol{x} + \boldsymbol{b}(t) \] 其中，\(\boldsymbol{a}(t)\)和\(\boldsymbol{b}(t)\)都是自变量\(t\)定义在某区间\((q_{1}, q_{2})\)上的连续函数。可以证明对于集合\(\Gamma\)中每一点\((t_{0}, \boldsymbol{x}_{0})\)，存在定义在含有\(t_{0}\)的某区间\((t_{1}, t_{2})\)上的解 \[ .\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\varphi}(t) \] 且满足 \[ \boldsymbol{\varphi}(t_{0}) = x_{0} \]
将一般微分方程组换为标准微分方程组
假设只有一个关于自变量\(t\)的未知数\(x\)，那么我们只讨论如下的一个方程 \[ F(t, x, \dot{x}, \dots, x^{(n)}) = 0 \] 如果有同一自变量的两个未知函数，那么我们需要讨论如下的方程组 \[ \left \{ \begin{aligned} & F(t, x, \dot{x}, \dots, x^{(m)}， y, \dot{y}, \dots, y^{(n)}) = 0 \\ & G(t, x, \dot{x}, \dots, x^{(m)}， y, \dot{y}, \dots, y^{(n)}) = 0 \\ \end{aligned} \right. \]
如果\(F(t, x, \dot{x}, \dots, x^{(n)}) = 0\)对于\(x^{(n)}\)是可解的，那么原方程可以重写为 \[ x^{(n)} = f(t, x, \dot{x}, \dots, x^{(n - 1)}) \] 同理，方程组可以重写为 \[ \left \{ \begin{aligned} & x^{(m)} = f(t, x, \dot{x}, \dots, x^{(m - 1)}， y, \dot{y}, \dots, y^{(n - 1)})\\ & y^{(n)} = g(t, x, \dot{x}, \dots, x^{(m - 1)}， y, \dot{y}, \dots, y^{(n - 1)})\\ \end{aligned} \right. \]
对于方程 \[ y^{(n)} = f(t, y, \dot{y}, \dots, y^{(n - 1)}) \] 在满足\(\dfrac{\partial f}{\partial y^{k}}\quad (k = 1, \dots, n - 1)\)在\(\Gamma\)上连续的前提下，上述方程可以化为\(n\)阶标准方程组 \[ \left \{ \begin{aligned} \dot{x}_{1} = & x_{2} \\ \dot{x}_{2} = & x_{3} \\ \vdots \\ \dot{x}_{n -1} = & x_{n} \\ \dot{x}_{n} = & f(t, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \end{aligned} \right. \]
对于 \[ \left \{ \begin{aligned} & \mathrm{d}ot{u} = f(t, u, \dot{u}, v, \dot{v}) \\ & \mathrm{d}ot{v} = g(t, u, \dot{u}, v, \dot{v}) \\ \end{aligned} \right. \] 假设 \[ \left \{ \begin{aligned} & x_{1} = u \\ & x_{2} = \dot{u} \\ & x_{3} = v \\ & x_{4} = \dot{v} \\ \end{aligned} \right. \] 那么原方程组变为 \[ \left \{ \begin{aligned} \dot{x}_{1} = & x_{2} \\ \dot{x}_{2} = & f(t, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \\ \dot{x}_{3} = & x_{4} \\ \dot{x}_{4} = & g(t, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \\ \end{aligned} \right. \] 对于任意\(n\)阶方程\(F(t, y, \dot{y}, \dots, y^{(n)}) = 0\)，首先需要考虑解出\(y^{(n)}\)的可能性。这是函数论问题，我们在此不讨论。
复值微分方程
首先，我们按照如下定义来定义复函数：
复函数：
对于\(\forall t \in (r_{1}, r_{2})\)，有复数 \[ \chi(t) = \varphi(t) + \mathrm{i} \psi(t) \] 与之对应，其中\(\varphi(t)\)与\(\psi(t)\)为实函数。我们称\(\chi(t)\)为实变量\(t\)的复值函数。
不难看出，\(\chi(t)\)的连续性与可微性和\(\varphi(t)\)与\(\psi(t)\)的连续性与可微性相关。
复方程组的解：
对于标准方程组 \[ \dot{\boldsymbol{z}} = \boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{z}) \] 如果在某一区间\((r_{1}, r_{2})\)内，实变量\(t\)的复函数 \[ \boldsymbol{z} = \boldsymbol{\chi}(t) \] 可以代入原标准微分方程组，那么我们称其为原标准方程组的解。
对于复方程组，有类似的存在与唯一性定理。并且对于标准复方程组 \[ \dot{\boldsymbol{z}} = \boldsymbol{h}(t, \boldsymbol{z}) \] 将\(\boldsymbol{z} = \boldsymbol{x} + \mathrm{i} \boldsymbol{y}\)代入，由此可得 \[ \dot{\boldsymbol{x}} + \mathrm{i} \dot{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) + \mathrm{i} g(t, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \] 因此原有的标准复方程组变为如下的标准实方程组 \[ \left \{ \begin{aligned} & \dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \\ & \dot{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \\ \end{aligned} \right. \] 由于\(\boldsymbol{z}\)在\(t \in (q_{1}, q_{2})\)上连续，因此\(\boldsymbol{x},\ \boldsymbol{y}\)在\(t \in (q_{1}, q_{2})\)上连续，从而\(\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}),\ \boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\)在\(t \in (q_{1}, q_{2})\)上连续。这样，这个方程组满足存在与唯一性。
线性微分方程
线性微分方程的一般形式为 \[ \sum\limits_{j, k}a_{ijk}(t)(x_{j})^{(k)} + b_{i}(t) = 0 \quad i = 1, 2, \dots, n \] 对应的齐次方程组 \[ \sum\limits_{j, k}a_{ijk}(t)(x_{j})^{(k)} = 0 \quad i = 1, 2, \dots, n \]
线性微分方程有以下性质
线性微分方程的性质： 1. 如果\(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{\varphi}(t)\)与\(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{\psi}(t)\)为齐次线性微分方程的两个解，那么\(\boldsymbol{y} = c_{1}\boldsymbol{\varphi}(t) + c_{2}\boldsymbol{\psi}(t)\)也为方程的解
如果\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\psi}(t)\)，\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\chi}(t)\)为线性方程组的两个解，那么\(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{\psi}(t) - \boldsymbol{\chi}(t)\)为线性齐次方程组的解。
如果\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\psi}(t)\)为线性方程组的解，\(\boldsymbol{y} = \boldsymbol{\varphi}(t)\)为对应的线性齐次方程组的解，那么\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\psi}(t) + \boldsymbol{\varphi}(t)\)为线性方程组的解
如果线性方程组中\(\boldsymbol{b} = \alpha \boldsymbol{c}(t) + \beta \boldsymbol{d}(t)\)，而方程组 \(\sum\limits_{j, k}a_{ijk}(t)(x_{j})^{(k)} + c_{i}(t) = 0\)和\(\sum\limits_{j, k}a_{ijk}(t)(x_{j})^{(k)} + d_{i}(t) = 0\)的解分别为\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\psi}(t)\)和\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\chi}(t)\)，那么\(\boldsymbol{x} = \alpha \boldsymbol{\psi} + \beta \boldsymbol{\chi}\)为线性方程组的解。