群的定义和实例
群的定义
我们将群按照如下方式进行定义
定义（群）：
对于一个集合\(G{a, b, c, \dots}\)，我们定义群的乘法为群的两元素按照一定次序得到另一元素的规则。此时如果其内部元素满足：
- 封闭性：任意两元素之积属于该群，即\(\forall a, b \in G\)，那么 \[ a \times b \in G \]
- 结合律，即\(\forall a, b, c \in G\)，有 \[ a \times (b \times c) = (a \times b) \times c \]
- 存在逆元，即\(\forall a \in G\)，有 \[ b = a^{-1} \in G \]
- 存在单位元，即对于群\(G\)，必定存在\(e \in G\)，其对于\(\forall a \in G\)有 \[ e \times a = a \times e = a \]
不难得到，对于任意一个群中的元素而言，其逆元为存在且唯一的。
此外，我们将群\(G\)中的元素数量称为群的阶，记为 \[ n = |G| \] 如果群的阶数不是无限大，我们将其称为有限群，反之我们称为无限群。同时，如果群的乘法满足交换律，那么我们将群称为Abel群。
置换群
假设我们有\(n\)个元素，我们将其按照如下顺序排列 \[ 1, 2, 3, \dots, n \] 此时我们对该顺序进行置换，例如按照如下方式进行置换 \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 3 & 5 & 2 & \dots & m \\ \end{pmatrix} \] 也就是说，上述符号表示一个将3换到1，将5换到2，将2换到3，...，将\(m\)换到\(n\)的置换。注意置换并不是交换，置换可以只发生两个元素之间的交换，也可以将全部元素的顺序改变。
我们可以将置换写为乘积的形式。例如如下的置换 \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 4 & 1 & 6 & 5 \\ \end{pmatrix} \] 可以写为\((1\ 3\ 4)(5\ 6)(2)\)，其中\((1\ 3\ 4)\)表示1换为3，3换为4，4换为1。我们将这种括号称为“循环”，而循环内符号个数为循环的长度。长度为2的循环被称为对换。
显然，任何置换均可写为循环的乘积，而\(n\)符号循环可以写为\((n - 1)\)个对换的乘积。
下面给出置换群的定义
定义（置换群）：
对于\(n\)个物体，存在\(n!\)个置换。我们将这些置换组成的集合称为置换群，记为\(S_{n}\)。
如果一个置换表示为循环时有奇数个循环，那么我们将该置换称为奇置换，反之为偶置换。可以证明，偶置换单独可以组成群，而奇置换不能组成群（奇置换之积为偶置换）。
乘法表
对于有限群，我们常将其乘法关系用乘法表表示。例如如果我们对于一个4阶群定义乘法 \[ a^{2} = b \quad ab = c \quad ac = e \]
| \(C_{4}\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
|---|---|---|---|---|
| \(e\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
| \(a\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(e\) |
| \(b\) | \(b\) | \(c\) | \(e\) | \(a\) |
| \(c\) | \(c\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) |
如果我们将乘法关系定义为 \[ a^{2} = b^{2} = c^{2} = e \quad ab = c \] 那么我们可以得到另一个四阶群，也就是\(V\)群的乘法表
| \(V\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
|---|---|---|---|---|
| \(e\) | \(e\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
| \(a\) | \(a\) | \(e\) | \(c\) | \(b\) |
| \(b\) | \(b\) | \(c\) | \(e\) | \(a\) |
| \(c\) | \(c\) | \(b\) | \(a\) | \(e\) |
显然，由于我们定义的乘法关系是可以交换次序的，因此这两个群都是Abel群。
同时，在构造乘法表时，我们已经不自觉地得到了重排定理。下面我们不加证明地给出
定理（重排定理）：
对于群\(G\)，\(\forall g \in G\)，有 \[ gG = Gg = G \] 其中，\(gG = \left\{ gg_{i} | g_{i} \in G\right\}\)，而\(Gg = \left\{ g_{i}g | g_{i} \in G\right\}\)
子群与生成元
子群
顾名思义，子群是群中的一部分元素组成的群。我们将子群定义为
定义（子群）：
对于群\(G\)而言，如果其中一部分元素按照其乘法规则能够组成群\(G'\)，那么我们将群\(G'\)称为群\(G\)的子群。
群\(G\)和单位元组成的群为非真子群，其余均为真子群
为了确认一个群是否为子群，我们给出以下命题
命题（确定子群的充要条件）：
对于群\(G\)，如果\(H \subset G\)，那么\(H\)为\(G\)子群的充要条件为以下两条中的任意一条 1. 如果\(a, b \in H\)，那么\(ab^{-1} \in H\) 2. 如果\(a, b \in H\)，那么\(a^{-1} \in H\)，\(b^{-1} \in H\)且\(ab \in H\)
不难想到，子群内部还可以分出新的子群，以下是几个例子
示例：
以下是关于子群的例子 1. 对于4阶\(V\)群而言，有 \[ \left\{ e \right\} \subset V\left\{ e, a\right\} \subset V\left\{ e, a, b, c \right\} \] 对于子群\(V\left\{ e, b\right\}\)和\(V\left\{ e, c\right\}\)同理。 2. 对于4阶\(C_{4}\)群而言，有 \[ \left\{ e \right\} \subset C_{4}\left\{ e, b\right\} \subset C_{4}\left\{ e, a, b, c\right\} \] 之所以\(C_{4}\left\{ e, a\right\}\)和\(C_{4}\left\{ e, c\right\}\)无法成为子群，是因为我们可以将\(b\)视为\(a^{2}\)、\(c\)视为\(a^{3}\)以及将\(e\)视为\(a^{4}\)。不难想到，由于偶数与偶数之和为偶数，并且子群内必须存在\(e\)，因此只有\(C_{4}\left\{ e, b\right\}\)可以成为子群。 3. 对于\(n!\)阶置换群\(S_{n}\)，其中一个对象\(i\)不动的置换的集合构成\((n - 1)!\)阶群\(S_{n - 1}\)，并且其为\(S_{n}\)的子群。由此不难得到 \[ \left\{ e \right\} = S_{1} \subset S_{2} \subset \dots \subset S_{n - 1}\subset S_{n} \]
下面直接给出一个重要的定理
定理（Cayley定理）：
任何一个\(n\)阶有限群都与置换群\(S_{n}\)的一个子群同构。
证明：
关键的一点：在证明\(P_{a_{i}} = P_{a_{j}}^{-1}\)时，对于\(\forall a_{k} \in G\)，在\(P_{a_{i}}\)中存在换位置关系 \[ a_{k} \to a_{j}^{-1}a_{k} \] 而对于\(a_{k}\)，\(\exists a_{m} \in G\)，满足 \[ a_{j}a_{m} = a_{k} \] 此时我们可以将换位置关系表示为 \[ a_{j}a_{m} \to a_{m} \] 因此置换\(P_{a_{i}}\)等价于\(P_{a_{j}}^{-1}\)
由于有限群必定与有限置换群的某个子群同构，因此我们直接可得如下推论
推论：
互相不同构的有限群的数量有限。
生成元
生成元与循环群的定义密不可分，下面我们一起给出定义
定义（循环群与生成元）：
对于群\(G\)，如果通过其中一个元素\(a\)的幂可以得到群中所有元素，那么我们将该群称为循环群，并将该元素称为群的生成元。如果 \[ a^{m} = e \] 那么我们将该元素称为\(m\)级的。
由此我们直接给出循环群的几个性质
命题（循环群的性质）：
以下是循环群的几个性质： 1. 所有循环群都是互换群 2. 循环群的子群也一定是循环群 3. 如果\(m\)和\(l\)互质，那么\(a^{l}\)也可以作为生成元
显然，并不是所有群都能由生成元直接给出。因此我们将生成元的定义扩展为生成元系，这样就可以将所有群表示为生成元系的派生物
定义（生成元系）：
对于群\(G\)，如果存在集合\(M\)满足\(G\)中所有元素都可表示为集合\(M\)中元素乘积的幂的形式，那么我们将集合\(M\)称为群\(G\)的生成元系。
示例：
例如，对于4阶群\(V\)而言，其中所有元素均可表示为\(a\)、\(b\)以及\(ab\)的幂，因此其生成元系为\(\left\{ a, b\right\}\)
显然，如果两个群的生成元系和生成关系（也就是从生成元系得到整个群的乘法关系）完全相同，那么这两个群是同构的。
直积与直和
直积
我们直接给出直积的定义
定义：
对于群\(G_{1}\)和\(G_{2}\)，其直积为 \[ G = G_{1}\otimes G_{2} = \left\{ (g_{1}, g_{2}) | g_{1} \in G_{1}, g_{2} \in G_{2} \right\} \] 而\(G\)中的乘法规则为 \[ gg' = (g_{1}, g_{2})(g_{1}', g_{2}') = (g_{1}g_{1}', g_{2}g_{2}') \]
如果\(G_{1} = H_{1}\)、\(G_{2} = H_{2}\)是群\(G\)的两个子群，且除单位元外没有相同元素。同时，\(\forall h_{1} \in H_{1}\)与\(\forall h_{2} \in H_{2}\)可交换，并且\(\exists! g \in G\)满足 \[ g = h_{1}h_{2} \] 那么\(G_{1}\)和\(G_{2}\)的直积\(G' = G_{1} \otimes G_{2}\)与\(G\)之间存在一一映射关系，因此两个群是同构的。所以对于这种情况，我们可以直接将直积的定义变为
定义：
如果\(G_{1} = H_{1}\)、\(G_{2} = H_{2}\)是群\(G\)的两个子群，且除单位元外没有相同元素。同时，\(\forall h_{1} \in H_{1}\)与\(\forall h_{2} \in H_{2}\)可交换，并且\(\exists! g \in G\)满足 \[ g = h_{1}h_{2} \] 那么\(H_{1}\)和\(H_{2}\)之间的直积为 \[ G = H_{1}\otimes H_{2} = \left\{ h_{1}h_{2} | h_{1} \in H_{1}, h_{2} \in H_{2} \right\} \]
直和
相比于讨论群的直和，我们将在此处介绍矩阵之间的直和。下面是矩阵直和的定义
定义：
对于矩阵\(A\)和\(B\)，其直和为 \[ A \oplus B = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{bmatrix} \]
有关矩阵的直和将在表示论相关部分经常用到，由于与直积的名字很接近，因此在此对比介绍。
陪集、共轭元素和类
陪集
下面我们直接给出陪集的定义
定义：
对于群\(G\)，假设其有子群\(G'\)。对于\(\forall g_{i} \in G\)，将其与子群\(G'\)中每个元素相乘，得到的新集合 \[ H_{i} = g_{i}G' = \left\{ g_{i}g' | g' \in G'\right\} \] 被称为子群\(G'\)的左陪集。
由于我们是从原群\(G\)中挑选元素来构造陪集，因此存在两种情况：挑选的元素在子群中或不在子群中。如果其在子群中，那么根据重排定理，构造得到的左陪集为子群本身。反之由反证法不难得到，左陪集中元素与子群中元素没有重复部分。同时由于陪集中不存在单位元，因此其不是群。
由此可得，子群的左陪集要么与子群完全重合，要么与子群完全不同。对于这些与子群不同的陪集，我们有以下定理
定理：
子群\(G'\)的两个左陪集要么完全相同，要么完全不同。
证明：
通过假设两个左陪集中存在相同元素，并通过重排定理即可证明两个陪集相同。
由此我们可以得到，对于\(n\)阶的群\(G\)，如果给定\(n_{H}\)阶的子群\(H\)，则其可以按照子群\(H\)分解为\(\dfrac{n}{n_{H}}\)个不同的陪集。这样我们就得到了Lagrange定理
定理（Lagrange定理）：
对于\(n\)阶有限群\(G\)，如果其有\(n_{H}\)阶的子群\(H\)，那么\(\exists l \in N_{+}\)，满足 \[ \dfrac{n}{n_{H}} = l \] 我们将\(l\)称为子群\(H\)的指数。
由此我们可以得到一个推论
推论：
如果有限群\(G\)的阶数\(n\)为质数，那么其必定为循环群。
证明：
假设其存在一个\(r\)阶的循环子群，那么\(\dfrac{n}{r}\)必定为整数。当\(n\)为质数时，\(r\)必定为\(1\)或\(n\)。由此\(n\)阶群\(G\)只存在由单位元素组成的子群以及其本身，也就是两个子群。由此可以说明其必定为循环群。
对于任意一个群\(G\)，必定\(\exists a \in G\)，使得集合\(\left\{ e, a, a^{2}, \dots, a^{r - 1}\right\}\)为\(G\)的子群。对于这种情况，我们将\(r\)称为元素\(a\)的级。由此我们又可以得到一个推论
推论：
对于\(n\)阶群\(G\)，其元素的级等于\(n\)的因数。
共轭元素和类
首先我们定义共轭关系
定义（共轭关系）：
对于群\(G\)，\(\forall g_{i}, g_{j} \in G\)，如果\(\exists g \in G\)，满足 \[ g_{i} = gg_{j}g^{-1} \] 那么我们称二者是相互共轭的，表示为\(g_{i} \sim g_{j}\)。
下面给出共轭的性质
命题（共轭关系的性质）：
共轭关系具有以下几个性质： 1. 反身性：每个元素都与自己共轭，即\(g_{i} \sim g_{i}\) 2. 对称性：如果有\(g_{i} \sim g_{j}\)，那么就有\(g_{j} \sim g_{i}\) 3. 传递性：如果有\(g_{i} \sim g_{j}\)，\(g_{j} \sim g_{k}\)，那么有\(g_{i} \sim g_{k}\)
在给出共轭的定义后，我们接着给出共轭类的定义：
定义（共轭类）：
对于群\(G\)，我们将其内部彼此共轭的元素组成的集合称为共轭类，简称类。
由此可以得出类的性质
命题（类的性质）：
类有以下几个性质： 1. 群中的单位元素自己为一个类 2. Abel群中的元素组成一个类 3. 对于属于同一个类的元素，他们的级相同 4. 共轭元素类的逆也构成一个类（如果这两个类相同，我们将其称为自逆元素类）
同时我们可以得到以下定理
定理：
对于\(n\)阶群\(G\)，其中每个共轭元素类的元素个数都是\(n\)的因数。
置换群的类
我们直接给出置换群中两置换属于同一类的条件
命题（置换群中属于同一类的条件）：
对于两个属于同一置换群的置换，二者属于同一类的充要条件为其循环结构相同。
共轭子群、不变子群和商群
共轭子群
我们直接给出共轭子群的定义
定义（共轭子群）：
对于群\(G\)，如果\(G'\)是其子群，\(\forall g \in G\)，我们将 \[ G'' = gG'g^{-1} \] 称为\(G'\)的共轭子群。
下面直接给出几个性质
命题（共轭子群的性质）：
共轭子群具有以下性质： 1. 如果某子群是另一子群的共轭子群，那么这两个群是同构的。 2. 对于群\(G\)，如果\(K\)是其一个类，那么由群\(G\)中与\(K\)中元素对易的元素组成的子群是相互共轭的。
不变子群
定义（不变子群）：
对于群\(G\)，如果其子群\(G'\)与其所有共轭子群重合，即\(\forall g \in G\) \[ gG'g^{-1} = G' \] 那么我们将该子群称为不变子群，或称为自逆子群。
命题（不变子群的性质）：
下面是几个不变子群的性质： 1. 对于某一个类，不变子群要么不包含，要么包含所有 2. 由某一类为生成元系得到的子群为不变子群。 3. 对于群\(G\)，如果其左陪集等于右陪集，即 \[ gG' = G'g \] 那么\(G'\)亦为不变子群。 4. 由Lagrange定理可得，指数为2的子群必定是不变子群（指数指的是原群阶数除以子群阶数的结果）。
如果群\(G\)不存在除\(\left\{ e \right\}\)和\(G\)之外的不变子群，那么我们将其称为单群；如果其不存在除\(\left\{ e \right\}\)之外的不变Abel子群，那么我们将其称为半单群。
商群
下面直接给出相关定义
定义（商群）：
对于群\(G\)，假设\(H\)是其不变子群，我们定义 \[ \left \{\begin{aligned} & f_{1} = Hg_{1} = He = H \\ & f_{2} = Hg_{2} \\ & \vdots \\ & f_{l} = Hg_{l} \\ \end{aligned} \right. \] 由此我们得到了\(H\)所有的陪集。我们将这些陪集组成的集合 \[ F = \{f_{i} | i = 1, 2, \dots, l\} \] 定义为群\(G\)关于不变子群\(H\)的商群，记为\(F = \dfrac{G}{H}\)。对于\(\forall f_{i}, f_{j} \in F\)，其乘法为 \[ f_{i}f_{j} = Hg_{i}Hg_{j} = HHg_{i}g_{j} = Hg_{i}g_{j} \]
同态和同构
简单而言，同态和同构指的都是群之间的映射关系。同态指的是在两个群之间存在映射，而同构指的是两个群之间存在一一映射。首先来看同态的定义
定义（同态映射）：
对于两个群\(G\)和\(G'\)，如果存在映射\(f: G \to G'\)，并且满足 \[ f(g_{i}g_{j}) = f(g_{i})f(g_{j}),\quad \forall g_{i}, g_{j} \in G \] 那么我们称\(f\)为\(G \to G'\)的同态映射，并且称\(G'\)同态于\(G\)。
不难想到，一阶群在此基础上，我们可以得到群的同构的定义。
定义（群的同构）：
对于两个群\(G\)和\(G'\)，如果同态映射\(f: G \to G'\)，并且该映射为一一映射，那么我们称\(f\)为\(G \to G'\)的同构映射，并且称这两个群为同构的。
下面给出几个同构映射的性质
命题（同构映射的性质）：
如果映射\(f\)为同构映射，那么其具有以下几个性质： 1. 其对应的逆映射\(f^{-1}\)也为同构映射 2. \(f(e) = e'\) 3. \(f(g^{-1}) = f(g)^{-1}\)
显然，产生同构映射的两个群可以是一个群，也就是\(f: G \to G\)，我们将这种同构映射称为自同构。大部分自同构都是平凡的，但我们可以按照下面的方式构造一个非平凡的自同构
定义（内自同构和外自同构）：
对于群\(G\)，我们构造如下的同构映射\(f: G \to G\) \[ f(g) = xgx^{-1}, \quad \forall x \in G \vee x \neq e \] 也就是说，我们让\(G\)中每个元素与其共轭元素对应。我们将这种同构映射称为内自同构，并将除此以外的同构称为外自同构。
关于同态映射，我们先定义一个特殊的集合
定义（同态映射的核）：
对于群\(G\)和\(G'\)，我们在二者之间定义同态映射\(f: G \to G'\)，则该同态映射的核为如下集合 \[ N = \left\{ x | f(x) = e',x\in G \right\} \]
此时我们给出如下命题
命题：
对于群\(G\)和\(G'\)，我们在二者之间定义同态映射\(f: G \to G'\)，并定义该同态映射的核为\(N\)，那么同态核\(N\)为不变子群，且\(G'\)同构于商群\(\dfrac{G}{N}\)，并且 \[ |G'| = \dfrac{|G|}{|N|} \]
由此可直接得到推论
推论：
如果同态映射的同态核为\(\left\{ e \right\}\)，那么该同态映射为同构映射。
此外，我们还有以下命题
命题：
对于群\(G\)和\(G'\)，我们在二者之间定义同态映射\(f: G \to G'\)，并假设\(H\)是\(G\)的子群，那么 \[ f(H) = \left\{ y | f(x) = y, x\in H\right\} \] 是\(G'\)的子群。如果\(H\)为不变子群，那么\(f(H)\)也是\(G'\)的不变子群。