物理学与群论笔记3——群论和量子力学

Schrodinger方程和对称算符

假设某体系满足不含时Schrodinger方程 $$\hat{H}{\psi }_n={\epsilon }_n{\psi }_n,n=1,2,\dots$$ 下面我们来考虑Hamilton量的对称性。我们先给出结论，然后进行说明

定理：

假设对称群为$G$，对应的算符为$\{\widehat{P_g}|g\in G\}$。如果 $$\hat{H}\widehat{P_g}{\psi }_n={\epsilon }_n\widehat{P_g}{\psi }_n$$ 也就是$\widehat{P_g}{\psi }_n$也是$\hat{H}$的本征值为${\epsilon }_n$的本征函数，此时我们称Hamilton量$\hat{H}$在群$G$的作用下不变。那么 $$[{\hat{P}}_g,\hat{H}]=0$$ 也就是$\hat{H}$与群对应的算符对易。

证明：

注意到 $$\begin{array}{rl}\hat{H}\widehat{P_g}{\psi }_n& ={\epsilon }_n\widehat{P_g}\psi \\ & =\widehat{P_g}{\epsilon }_n{\psi }_n\\ & =\widehat{P_g}\hat{H}{\psi }_n\end{array}$$ 由此可以得出结论。

如果$\hat{H}$与群对应的算符对易，那么还可以写成 $${\hat{P}}_g\hat{H}{\hat{P}}_g^{-1}=\hat{H}$$

如果考虑到本征函数可能出现简并，那么我们将Schrodinger方程改写为 $$\hat{H}{\psi }_{n\lambda }={\epsilon }_n{\psi }_{n\lambda },\lambda =1,2,\dots ,d$$ 此时简并的$d$个本征函数是线性无关的，并且通过Schmit正交化可以变为相互正交的。因此，算符作用在本征函数上后仍可表示为本征函数的线性组合，即 $${\hat{P}}_g{\psi }_n=\sum _{\mu =1}^d{\psi }_{n\mu }{G}_{\mu \lambda }(g)$$ 此时$\mathit{G}(g)$即为群$G$的一个$d$维表示，负载这个表示的基为简并的$d$个波函数${\psi }_{n\mu }$。所以Hamilton量的本征函数可以负载群$G$的表示。一般来说，这个表示是可约表示，我们可以将其约化为不可约表示的直和 $$\mathit{G}(g)=\sum _p{a}_p{\mathit{G}}^{(p)}(g)$$ 其中，$s$表示只有$s$种不可约表示。由此，针对每个不可约表示，我们可以给出新的基 $$\{{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}|p=1,2,\dots ,s,\mu =1,2,\dots ,d_p,{\alpha }_p=1,2,\dots ,a_p\}$$ 其中，$p$表示这一组基是负载第$p$个${\mathit{G}}^{(p)}(g)$不可约表示的，${\alpha }_p$表示其为$a_p$个不可约表示${\mathit{G}}^{(p)}$中第${\alpha }_p$个的基函数，而$\mu$表示这个函数是这一组基中的第$\mu$个。由于本质上这些基函数是原有的$d$个本征函数的线性组合，因此它们在$\hat{H}$下对应的本征值仍然为${\epsilon }_n$，并且在数量上满足 $$\sum _i^s{a}_i{d}_i=d$$ 同时，由于每个不可约表示都有自己的基函数，因此我们可以将对应每个不可约表示基函数的本征值划为一类。例如，对于${\mathit{G}}^{(p)}$而言，其对应的本征值为 $$\{{\epsilon }_{n_p}^{({\alpha }_p)}|{\alpha }_p=1,2,\dots ,a_p\}$$ 由此可得，不同标记的本征值共有$\sum _p^s{a}_p$个，而每个本征值的简并度（同一能级对应基函数个数）为$d_p$。由此定义正常简并和偶然简并

定义（正常简并与偶然简并）：

如果一个能级的波函数只负载一个不可约表示，那么我们称该简并为正常简并；反之，如果一个能级的波函数负载了多个不可约表示，那么我们称该简并为偶然简并。

换言之，对于两个能级${\epsilon }_{n_p}^{({\alpha }_p)}={\epsilon }_{n_q}^{({\alpha }_q)}$，如果其满足$p=q$，那么我们称这种简并为正常简并，反之为偶然简并。

不难想到，如果对于某体系不存在偶然简并的情况，那么不同不可约表示对应的能级不可能简并，由此如果一些波函数是简并的，那么它们必然负载一个不可约表示。

微扰对于简并的影响

首先，我们来计算跃迁矩阵元$⟨{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}|\hat{H}|{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}⟩$。我们先给出结论，然后给出过程的思路。

命题：

对于某量子体系，假设其满足如下的不含时Schrodinger方程 $$\hat{H}{\psi }_{n\lambda }={\epsilon }_n{\psi }_{n\lambda },\lambda =1,2,\dots ,d$$ 并且$\hat{H}$与群$G$对应的算符$\{{\hat{P}}_g|g\in G\}$对易。我们将$g$对应的表示$\mathit{G}(g)$约化为不可约表示后，假设每个不可约表示对应的基函数为 $$\{{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}|p=1,2,\dots ,s,\mu =1,2,\dots ,d_p,{\alpha }_p=1,2,\dots ,a_p\}$$ 那么有 $$⟨{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}|\hat{H}|{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}⟩={\delta }_{pq}{\delta }_{\mu \nu }{\displaystyle \frac{1}{d_p}}\sum _{\lambda }⟨{\varphi }_{\lambda {\alpha }_p}^{(p)}|\hat{H}|{\varphi }_{\lambda {\beta }_p}^{(q)}⟩$$

证明：

在证明时需要注意以下几点： 1. 在证明时需要利用酉算符与单位算符的关系 2. 由于第一点，对于$\mathrm{\forall }g\in G$，结果都是一样的。因此可以通过对$g\in G$求和来使用广义正交定理。

这一命题表明，对于不同不可约表示之间的跃迁，以及同一个不可约表示的不同序号之间的跃迁，跃迁矩阵元一定为0。同时，可以发现跃迁矩阵元的结果与$\mu$无关，因此 $$⟨{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}|\hat{H}|{\varphi }_{\mu {\beta }_q}^{(p)}⟩={\displaystyle \frac{1}{d_p}}\sum _{\lambda }⟨{\varphi }_{\lambda {\alpha }_p}^{(p)}|\hat{H}|{\varphi }_{\lambda {\beta }_p}^{(p)}⟩,\mu =1,2,\dots ,d_p$$

假如我们给Hamilton量加上一个微扰，那么Hamilton量变为 $$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$$ 如果微扰${\hat{H}}^{\prime }$与${\hat{H}}_0$具有相同对称性，那么 $$\mathrm{\Delta }\epsilon \approx ⟨{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}|{\hat{H}}^{\prime }|{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}⟩={\delta }_{pq}{\delta }_{\mu \nu }{\mathrm{\Delta }}^{(p)}$$ 因此能级的移动只与$p$，因此属于同一个不可约表示的能级移动是相同的。也就是说，对称微扰有可能消除偶然简并，而不会影响正常简并。

这表明，加上微扰后体系的对称性下降，同时原本简并的能级现在也可能变得不再简并。如果${\hat{H}}_0$的对称群为$G_0$，那么加上微扰的$\hat{H}$的对称群为$G\subset G_0$（也就是对称性降低）。如果我们假设负载$a_p$个不可约表示$G^{(p)}$的基函数对应的本征值为 $$\{{\epsilon }_{n_p}^{({\alpha }_p)}|{\alpha }_p=1,2,\dots ,a_p\}$$ 那么原本偶然简并的两个能级${\epsilon }_{n_p}^{({\alpha }_p)}$和${\epsilon }_{n_q}^{({\alpha }_q)}$，此时不再是简并能级。

此外，如果假设$G_0$的不可约表示${\mathit{G}}_0^{(p)}$对于子群$G$为可约表示，并且可以约化为 $${\mathit{G}}_0^{(p)}=\sum _r^t{a}_r{\mathit{G}}^r$$ 其中，$t$为不可约表示的种类数。那么按照之前的结论，现在共有$\sum _r^t{a}_r$个不可约表示，因此对应的能级共有$\sum _r^t{a}_r$个。

使用对称性简化Schrodinger方程

考虑Schrodinger方程 $$\hat{H}\psi =\epsilon \psi$$ 将$\psi$展开为 $$\psi =\sum _p\sum _{{\alpha }_p}\sum _{\mu }{a}_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}$$ 将其带入，与${\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}$内积可得 $$\sum _p\sum _{{\alpha }_p}\sum _{\mu }{a}_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}(⟨{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}|\hat{H}|{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}⟩-\epsilon ⟨{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}{\varphi }_{\mu {\alpha }_p}^{(p)}⟩)=0$$ 由正交性可得，只有当$p=q$、$\mu =\nu$时括号中才不为0。因此 $$\sum _{{\alpha }_q}{a}_{\nu {\alpha }_q}^{(q)}(⟨{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}|\hat{H}|{\varphi }_{\nu {\alpha }_q}^{(q)}⟩-\epsilon ⟨{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}{\varphi }_{\nu {\alpha }_q}^{(q)}⟩)=0$$ 设 $$G_{\alpha \beta }(q,\nu )=⟨{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}|\hat{H}|{\varphi }_{\nu {\alpha }_q}^{(q)}⟩-\epsilon ⟨{\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}{\varphi }_{\nu {\alpha }_q}^{(q)}⟩$$ 那么 $$\sum _{{\alpha }_a}{a}_{\nu {\alpha }_q}^{(q)}{G}_{q\nu }=0$$ 上式是通过与${\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}$内积得到的。不难看出，对于所有的${\varphi }_{\nu {\beta }_q}^{(q)}$，做内积都应得到相同的结果（也就是0）。因此我们对$\nu$与$q$求和依然可以得到0。 $$\sum _q\sum _{\nu }\sum _{{\alpha }_a}{a}_{\nu {\alpha }_q}^{(q)}{G}_{\alpha \beta }(q,\nu )=0$$ 如果我们将所有的$a_{\nu {\alpha }_q}^{(q)}$组成一个向量$\mathit{a}$，将$G_{\alpha \beta }(q,\nu )$组成位于$({\alpha }_q,{\beta }_q)$元素的矩阵$\mathit{G}$，那么上式变为 $$\mathit{G}\mathit{a}=0$$ 其有非零解的条件为 $$det\mathit{G}=0$$ 由于$\mathit{G}$可以表示为分块矩阵 $$\mathit{G}=\left[\begin{array}{ccccccc}\mathit{G}(1,1)& 0& \dots & 0& 0& 0& \dots \\ 0& \mathit{G}(1,2)& \dots & 0& 0& 0& \dots \\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& \\ 0& 0& \dots & \mathit{G}(1,d_1)& 0& 0& \dots \\ 0& 0& \dots & 0& \mathit{G}(2,1)& 0& \dots \\ 0& 0& \dots & 0& 0& \mathit{G}(2,2)& \dots \\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& \end{array}\right]$$ 由行列式性质不难得到 $$\prod _{q=1}^s\prod _{\nu =1}^{d_q}det\mathit{G}(q,\nu )=0$$ 由于相同不可约表示对应的能级相同，因此只用求解 $$\prod _{q=1}^{s}det\mathit{G}(q,1)=0$$ 其中，1也可以换成其他符号。要求解该方程，只需对每个$q$求解$det\mathit{G}(q,1)=0$即可。

不可约张量算符和Wigner-Eckart定理

我们将不可约张量算符定义为

定义（不可约张量算符）：

对于一组算符 $$\{{\hat{J}}_{\lambda }^{(p)}|\lambda =1,2,\dots ,d_p\}$$ 如果与群$G$对应的算符群${\hat{P}}_G$满足 $${\hat{P}}_g{\hat{J}}_{\lambda }^{(p)}{\hat{P}}_g^{-1}=\sum _{\mu =1}^{d_p}{\hat{J}}_{\mu }^{(p)}{\mathit{G}}_{\mu \lambda }(g),\mathrm{\forall }g\in G$$ 那么我们称这一组算符为不可约张量算符。

如果$\left\{{\varphi }_{\mu }^{(q)}\right\}$是负载不可约表示${\mathit{G}}^{(q)}(g)$的基，那么有 $${\hat{P}}_g{\hat{J}}_{\lambda }^{(p)}{\varphi }_{\mu }^{(q)}=\sum _{{\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime }}{\hat{J}}_{{\lambda }^{\prime }}^{(p)}{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(q)}{({\mathit{G}}^{(p)}(g)\otimes {\mathit{G}}^{(q)}(g))}_{{\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime },\lambda \mu }$$ 也就是说，$\left\{{\hat{J}}_{\lambda }^{(p)}{\varphi }_{\mu }^{(q)}\right\}$负载了两个表示的直积${\mathit{G}}^{(p)}(g)\otimes {\mathit{G}}^{(q)}(g)$。一般情况下，这种表示是可约表示。假设约化后的基为 $$\{{\psi }_{\mu }^{(r)\alpha }|\nu =1,2,\dots ,d_r,\alpha =1,2,\dots ,a_r\}$$ 其可以用原来的基线性组合为 $${\psi }_{\nu }^{(r)\alpha }=\sum _{\lambda ,\mu }⟨\begin{array}{rlr}& p& q\\ & \lambda & \mu \end{array}|\begin{array}{rlr}& r& \\ & \nu & \end{array}\alpha ⟩{\hat{J}}_{\lambda }^{(p)}{\varphi }_{\mu }^{(q)}$$ 由此，我们直接给出Wigner-Eckart定理，然后给出证明思路

定理（Wigner-Eckart定理）：

对于一组不可约张量算符$\{{\hat{J}}_{\lambda }^{(p)}|\lambda =1,2,\dots ,d_p\}$，其与负载不可约表示${\mathit{G}}^{(q)}(g)$的基$\left\{{\varphi }_{\mu }^{(q)}\right\}$的内积满足 $$⟨{\varphi }_{\sigma }^{(s)\gamma }|{\hat{J}}_{\lambda }^{(p)}|{\varphi }_{\mu }^{(q)\epsilon }⟩=\sum _{\alpha }⟨\begin{array}{rlr}& p& q\\ & \lambda & \mu \end{array}|\begin{array}{rlr}& r& \\ & \nu & \end{array}\alpha {⟩}^{\ast }{\delta }_{sr}{\delta }_{\sigma \nu }[{\displaystyle \frac{1}{l_q}}\sum _{{\mu }^{\prime }}⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(s)\gamma }|{\psi }_{{\mu }^{\prime }}^{(r)}\alpha ⟩]$$ 其中，$l_q$表示不可约表示${\mathit{G}}^{(q)}(g)$的维数，中括号内部的部分仅与$s$和$\alpha$相关。

证明：

要证明这一定理，需要先证明如下命题 $$⟨{\varphi }_{\mu }^{(p)\alpha }|{\varphi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩={\displaystyle \frac{1}{l_p}}{\delta }_{pq}{\delta }_{\mu \nu }\sum _{{\mu }^{\prime }}⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(p)\alpha }|{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(q)\beta }⟩$$ 对于这一命题，我们只需要利用算符${\hat{P}}_g$为酉算符的性质，将上式左端变形为 $$⟨{\varphi }_{\mu }^{(p)\alpha }|{\varphi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩=⟨{\varphi }_{\mu }^{(p)\alpha }|{\hat{P}}_g^{†}{\hat{P}}_g|{\varphi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩$$ 然后凑广义正交定理 $$\begin{array}{rl}⟨{\varphi }_{\mu }^{(p)\alpha }|{\hat{P}}_g^{†}{\hat{P}}_g|{\varphi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩& ={\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}⟨{\varphi }_{\mu }^{(p)\alpha }|{\hat{P}}_g^{†}{\hat{P}}_g|{\varphi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩\\ & ={\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}\left[(\sum _{{\mu }^{\prime }}⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(p)\alpha }|G_{{\mu }^{\prime }\mu }^{(p)\ast }(g))(\sum _{{\nu }^{\prime }}{G}_{{\nu }^{\prime }\nu }^{(q)}(g)|{\varphi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩)\right]\\ & =\sum _{{\mu }^{\prime }}\sum _{{\nu }^{\prime }}[⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(p)\alpha }|{\varphi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩({\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}{G}_{{\mu }^{\prime }\mu }^{(p)\ast }(g)G_{{\nu }^{\prime }\nu }^{(q)}(g))]\\ & =\sum _{{\mu }^{\prime }}\sum _{{\nu }^{\prime }}[{\displaystyle \frac{{\delta }_{pq}{\delta }_{\mu \nu }{\delta }_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}}{l_p}}⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(p)\alpha }|{\varphi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩]\\ & ={\displaystyle \frac{1}{l_p}}{\delta }_{pq}{\delta }_{\mu \nu }\sum _{{\mu }^{\prime }}⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(p)\alpha }|{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(q)\beta }⟩\end{array}$$ 由此我们证明了这一命题。由于具体的函数形式对上式没有影响，有影响的是求和标签，因此 $$⟨{\varphi }_{\mu }^{(p)\alpha }|{\hat{P}}_g^{†}{\hat{P}}_g|{\psi }_{\nu }^{(q)\beta }⟩={\displaystyle \frac{1}{l_p}}{\delta }_{pq}{\delta }_{\mu \nu }\sum _{{\mu }^{\prime }}⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(p)\alpha }|{\psi }_{{\mu }^{\prime }}^{(q)\beta }⟩$$ 在此基础上，我们有 $$\begin{array}{rl}⟨{\varphi }_{\sigma }^{(s)\gamma }|{\hat{J}}_{\lambda }^{(p)}|{\varphi }_{\mu }^{(q)}\epsilon ⟩& =\sum _{r,\nu ,\alpha }⟨\begin{array}{rlr}& p& q\\ & \lambda & \mu \end{array}|\begin{array}{rlr}& r& \\ & \nu & \end{array}\alpha {⟩}^{\ast }⟨{\varphi }_{\sigma }^{(s)\gamma }|{\varphi }_{\nu }^{(r)\alpha }⟩\\ & =\sum _{r,\nu ,\alpha ,{\mu }^{\prime }}⟨\begin{array}{rlr}& p& q\\ & \lambda & \mu \end{array}|\begin{array}{rlr}& r& \\ & \nu & \end{array}\alpha {⟩}^{\ast }{\displaystyle \frac{1}{l_p}}{\delta }_{sr}{\delta }_{\sigma \nu }⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(s)\gamma }|{\psi }_{{\mu }^{\prime }}^{(r)\alpha }⟩\\ & =\sum _{\alpha }⟨\begin{array}{rlr}& p& q\\ & \lambda & \mu \end{array}|\begin{array}{rlr}& r& \\ & \nu & \end{array}\alpha {⟩}^{\ast }{\delta }_{sr}{\delta }_{\sigma \nu }[{\displaystyle \frac{1}{l_q}}\sum _{{\mu }^{\prime }}⟨{\varphi }_{{\mu }^{\prime }}^{(s)\gamma }|{\psi }_{{\mu }^{\prime }}^{(r)}\alpha ⟩]\end{array}$$

实表示

假设$\mathit{G}(G)$是群$G$的表示，那么${\mathit{G}}^{\ast }(G)$也是群$G$的表示。针对这两个表示之间的关系，我们给出实表示的定义

定义（实表示）：

对于群$G$，如果其表示$\mathit{G}(G)$与$\mathit{G}(G)$等价，并且都等价于一个实数表示，那么我们称这样的表示为实表示。

可以用如下的定理来判断一个表示是否为实表示

定理：

对于群$G$，如果其表示$\mathit{G}(G)$与$\mathit{G}(G)$为等价的不可约表示，即$\mathrm{\exists }\mathit{C}$，使得 $${\mathit{G}}^{\ast }(g)=\mathit{C}\mathit{G}(g){\mathit{C}}^{-1},\mathrm{\forall }g\in G$$ 那么$\mathit{C}$满足 $${\mathit{C}}^{\mathrm{T}}=\pm \mathit{C}$$ 如果${\mathit{C}}^{\mathrm{T}}=\mathit{C}$，那么$\mathit{G}(G)$为实表示，反之为非实表示

证明：

对定义式两边取复共轭，然后由Schur引理可得 $${\mathit{C}}^{\ast }\mathit{C}=\lambda \mathit{I}$$ 假设$\mathit{G}(G)$是酉矩阵，那么根据同样的思路可得 $${\mathit{C}}^{†}\mathit{C}={\lambda }^{\prime }\mathit{I}$$ 由此可得 $$|det\mathit{C}{|}^2={\lambda }^d={\lambda }^{\prime d}$$ 由此 $${\mathit{C}}^{†}\mathit{C}=\pm {\mathit{C}}^{\ast }\mathit{C}$$ 即 $${\mathit{C}}^{\mathrm{T}}=\pm \mathit{C}$$

实表示和特征标之间的关系为

定理：

对于群$G$，如果${\chi }_g$是不可约表示$\mathit{G}(g)$的特征标，那么 $$\sum _{g\in G}\chi (g^2)=\{\begin{array}{rl}& n,\mathit{G}(g)\text{是实表示}\\ & 0,\mathit{G}(g)\text{和}{\mathit{G}}^{\ast }(g)\text{不等价}\\ & -n,\mathit{G}(g)\text{和}{\mathit{G}}^{\ast }(g)\text{等价，但不是实表示}\end{array}$$

时间反演对称和附加简并

时间反演对称

如果物理量具有时间反演对称性，那么相反的物理过程也是可能的物理过程。在时间反演变换下有 $$\{\begin{array}{rl}\mathit{r}& \to \mathit{r}\\ \mathit{p}& \to -\mathit{p}\end{array}$$ 由于Hamilton算符为 $$\hat{H}={\displaystyle \frac{{\hat{\mathit{p}}}^2}{2m}}+V(\mathit{r})$$ 那么显然Hamilton算符在时间反演操作下是不变的。

不同自旋的粒子在时间反演下的表现不同。我们首先考虑自旋为0的粒子。这样的粒子满足下面的Schrodinger方程 $$\mathrm{i}\hslash {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}\psi (\mathit{r},t)=\hat{H}\psi (\mathit{r},t)$$ 作变换$t\to -t$，然后同时取复共轭，接着利用Hamilton算符的不变性，并假设 $$\hat{T}\psi (\mathit{r},t)={\psi }^{\ast }(\mathit{r},-t)$$ 由此可得 $$\mathrm{i}\hslash {\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}\hat{T}\psi (\mathit{r},t)=\hat{H}\hat{T}\psi (\mathit{r},t)$$

与通常的算符不同，时间反演算符是反线性算符，其满足 $$\hat{T}(c_1{\psi }_1+c_2{\psi }_2)=c_1^{\ast }\hat{T}{\psi }_1+c_2^{\ast }\hat{T}{\psi }_2$$

对于不含时Schrodinger方程 $$\hat{H}\psi (\mathit{r})=E\psi (\mathit{r})$$ 如果Hamilton具有时间反演对称，也就是$\hat{H}\hat{T}=\hat{T}\hat{H}$，那么 $$\hat{H}\hat{T}\psi (\mathit{r})=\hat{T}\hat{H}\psi (\mathit{r})=E\hat{T}\psi (\mathit{r})$$ 这表明，$\hat{T}\psi (\mathit{r})$也是满足Schrodinger方程的物理状态。

此外，如果我们假设了$\psi (\mathit{r},t)$可以通过分离变量的方式表示为 $$\psi (\mathit{r},t)=\psi (\mathit{r}){\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}Et}{\hslash }}$$ 那么两边同时取复共轭，并作变换$t\to -t$可得 $$\hat{T}\psi (\mathit{r},t)={\psi }^{\ast }(\mathit{r},-t)={\psi }^{\ast }(\mathit{r}){\mathrm{e}}^{-\frac{\mathrm{i}Et}{\hslash }}$$ 由此可得 $$\hat{T}\psi (\mathit{r})={\psi }^{\ast }(\mathit{r})$$ 从而 $${\hat{T}}^2\psi (\mathit{r})=\psi (\mathit{r})$$ 这表明，对于自旋为0的粒子，${\hat{T}}^2$为恒等算符。

对于自旋为${\displaystyle \frac{1}{2}}$的粒子，研究这一体系需要使用Dirac方程。由于笔者还没有学习这一部分，因此略去推导过程，直接给出结论：对于自旋为${\displaystyle \frac{1}{2}}$的粒子，${\hat{T}}^2$不再是恒等算符。

时间反演对称与附加简并的联系

附加简并指的是由于时间反演对称而产生的额外的简并度，或者说时间反演算符作用到原本的基函数上后，得到了一组新的简并函数。下面我们直接给出结论

定理（时间反演对称导致的附加简并）：

在某量子体系中，假设某一能级为$d$重简并的，$\left\{{\psi }_{\mu }\right\}$为相对应的本征函数。假设这些本征函数可以负载满足时间反演对称的群$G$的不可约表示$\mathit{G}(G)$，那么我们将时间反演算符作用于本征函数集合产生的新集合$\left\{\hat{T}{\psi }_{\mu }\right\}$负载的不可约表示称为$\mathit{G}(G{)}^{\ast }$。由此 1. 如果$\mathit{G}(G)$与$\mathit{G}(G{)}^{\ast }$不等价，那么体系是$2d$重简并的，也就是时间反演对称会产生附加简并。 2. 如果$\mathit{G}(G)=\mathit{G}(G{)}^{\ast }$是实表示，那么 1. 对于自旋为0的粒子，时间反演对称不产生附加简并 2. 对于自旋为${\displaystyle \frac{1}{2}}$的粒子，体系是$2d$重简并的，也就是时间反演对称会产生附加简并。 3. 如果$\mathit{G}(G)$与$\mathit{G}(G{)}^{\ast }$等价，但不是实表示，那么 1. 对于自旋为0的粒子，体系是$2d$重简并的，也就是时间反演对称会产生附加简并。 2. 对于自旋为${\displaystyle \frac{1}{2}}$的粒子，时间反演对称不产生附加简并。