Schrodinger方程和对称算符

假设某体系满足不含时Schrodinger方程 \[ \hat{H}\psi_{n} = \varepsilon_{n}\psi_{n},\quad n = 1, 2, \dots \] 下面我们来考虑Hamilton量的对称性。我们先给出结论，然后进行说明

定理：

假设对称群为$G$，对应的算符为$\left\{ \hat{P_{g}} | g \in G \right\}$。如果 \[ \hat{H} \hat{P_{g}}\psi_{n} = \varepsilon_{n} \hat{P_{g}}\psi_{n} \] 也就是$\hat{P_{g}}\psi_{n}$也是$\hat{H}$的本征值为$\varepsilon_{n}$的本征函数，此时我们称Hamilton量$\hat{H}$在群$G$的作用下不变。那么 \[ [\hat{P}_{g}, \hat{H}] = 0 \] 也就是$\hat{H}$与群对应的算符对易。

证明：

注意到 \[ \begin{aligned} \hat{H} \hat{P_{g}}\psi_{n} & = \varepsilon_{n}\hat{P_{g}} \psi \\ & = \hat{P_{g}} \varepsilon_{n}\psi_{n} \\ & = \hat{P_{g}} \hat{H} \psi_{n} \\ \end{aligned} \] 由此可以得出结论。

如果$\hat{H}$与群对应的算符对易，那么还可以写成 \[ \hat{P}_{g}\hat{H} \hat{P}_{g}^{-1} = \hat{H} \]

如果考虑到本征函数可能出现简并，那么我们将Schrodinger方程改写为 \[ \hat{H}\psi_{n\lambda} = \varepsilon_{n}\psi_{n\lambda},\quad \lambda = 1, 2, \dots, d \] 此时简并的$d$个本征函数是线性无关的，并且通过Schmit正交化可以变为相互正交的。因此，算符作用在本征函数上后仍可表示为本征函数的线性组合，即 \[ \hat{P}_{g}\psi_{n} = \sum\limits_{\mu = 1}^{d} \psi_{n\mu} G_{\mu\lambda}(g) \] 此时$\boldsymbol{G}(g)$即为群$G$的一个$d$维表示，负载这个表示的基为简并的$d$个波函数$\psi_{n\mu}$。所以Hamilton量的本征函数可以负载群$G$的表示。一般来说，这个表示是可约表示，我们可以将其约化为不可约表示的直和 \[ \boldsymbol{G}(g) = \sum\limits_{p}a_{p}\boldsymbol{G}^{(p)}(g) \] 其中，$s$表示只有$s$种不可约表示。由此，针对每个不可约表示，我们可以给出新的基 \[ \left\{ \phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)} \big| p = 1, 2, \dots, s,\quad \mu = 1, 2,\dots, d_{p},\quad \alpha_{p} = 1, 2, \dots, a_{p} \right\} \] 其中，$p$表示这一组基是负载第$p$个$\boldsymbol{G}^{(p)}(g)$不可约表示的，$\alpha_{p}$表示其为$a_{p}$个不可约表示$\boldsymbol{G}^{(p)}$中第$\alpha_{p}$个的基函数，而$\mu$表示这个函数是这一组基中的第$\mu$个。由于本质上这些基函数是原有的$d$个本征函数的线性组合，因此它们在$\hat{H}$下对应的本征值仍然为$\varepsilon_{n}$，并且在数量上满足 \[ \sum\limits_{i}^{s} a_{i}d_{i} = d \] 同时，由于每个不可约表示都有自己的基函数，因此我们可以将对应每个不可约表示基函数的本征值划为一类。例如，对于$\boldsymbol{G}^{(p)}$而言，其对应的本征值为 \[ \left\{ \varepsilon_{n_{p}}^{(\alpha_{p})} | \alpha_{p} = 1, 2, \dots, a_{p}\right\} \] 由此可得，不同标记的本征值共有$\sum\limits_{p}^{s}a_{p}$个，而每个本征值的简并度（同一能级对应基函数个数）为$d_{p}$。由此定义正常简并和偶然简并

定义（正常简并与偶然简并）：

如果一个能级的波函数只负载一个不可约表示，那么我们称该简并为正常简并；反之，如果一个能级的波函数负载了多个不可约表示，那么我们称该简并为偶然简并。

换言之，对于两个能级$\varepsilon_{n_{p}}^{(\alpha_{p})} = \varepsilon_{n_{q}}^{(\alpha_{q})}$，如果其满足$p = q$，那么我们称这种简并为正常简并，反之为偶然简并。

不难想到，如果对于某体系不存在偶然简并的情况，那么不同不可约表示对应的能级不可能简并，由此如果一些波函数是简并的，那么它们必然负载一个不可约表示。

微扰对于简并的影响

首先，我们来计算跃迁矩阵元$\langle \phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)} | \hat{H} | \phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)}\rangle$。我们先给出结论，然后给出过程的思路。

命题：

对于某量子体系，假设其满足如下的不含时Schrodinger方程 \[ \hat{H}\psi_{n\lambda} = \varepsilon_{n}\psi_{n\lambda},\quad \lambda = 1, 2, \dots, d \] 并且$\hat{H}$与群$G$对应的算符$\left\{ \hat{P}_{g} | g \in G \right\}$对易。我们将$g$对应的表示$\boldsymbol{G}(g)$约化为不可约表示后，假设每个不可约表示对应的基函数为 \[ \left\{ \phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)} \big| p = 1, 2, \dots, s,\quad \mu = 1, 2,\dots, d_{p},\quad \alpha_{p} = 1, 2, \dots, a_{p} \right\} \] 那么有 \[ \langle \phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)} | \hat{H} | \phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)}\rangle = \delta_{pq}\delta_{\mu\nu}\dfrac{1}{d_{p}}\sum\limits_{\lambda}\langle \phi^{(p)}_{\lambda\alpha_{p}} | \hat{H} | \phi^{(q)}_{\lambda\beta_{p}} \rangle \]

证明：

在证明时需要注意以下几点： 1. 在证明时需要利用酉算符与单位算符的关系 2. 由于第一点，对于$\forall g \in G$，结果都是一样的。因此可以通过对$g \in G$求和来使用广义正交定理。

这一命题表明，对于不同不可约表示之间的跃迁，以及同一个不可约表示的不同序号之间的跃迁，跃迁矩阵元一定为0。同时，可以发现跃迁矩阵元的结果与$\mu$无关，因此 \[ \langle \phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)} | \hat{H} | \phi_{\mu\beta_{q}}^{(p)}\rangle = \dfrac{1}{d_{p}}\sum\limits_{\lambda}\langle \phi^{(p)}_{\lambda\alpha_{p}} | \hat{H} | \phi^{(p)}_{\lambda\beta_{p}} \rangle,\quad \mu = 1, 2, \dots, d_{p} \]

假如我们给Hamilton量加上一个微扰，那么Hamilton量变为 \[ \hat{H} = \hat{H}_{0} + \hat{H}' \] 如果微扰$\hat{H}'$与$\hat{H}_{0}$具有相同对称性，那么 \[ \Delta \varepsilon \approx \langle \phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)} |\hat{H}'|\phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)} \rangle = \delta_{pq}\delta_{\mu\nu}\Delta^{(p)} \] 因此能级的移动只与$p$，因此属于同一个不可约表示的能级移动是相同的。也就是说，对称微扰有可能消除偶然简并，而不会影响正常简并。

这表明，加上微扰后体系的对称性下降，同时原本简并的能级现在也可能变得不再简并。如果$\hat{H}_{0}$的对称群为$G_{0}$，那么加上微扰的$\hat{H}$的对称群为$G \subset G_{0}$（也就是对称性降低）。如果我们假设负载$a_{p}$个不可约表示$G^{(p)}$的基函数对应的本征值为 \[ \left\{ \varepsilon_{n_{p}}^{(\alpha_{p})} | \alpha_{p} = 1, 2, \dots, a_{p}\right\} \] 那么原本偶然简并的两个能级$\varepsilon_{n_{p}}^{(\alpha_{p})}$和$\varepsilon_{n_{q}}^{(\alpha_{q})}$，此时不再是简并能级。

此外，如果假设$G_{0}$的不可约表示$\boldsymbol{G}_{0}^{(p)}$对于子群$G$为可约表示，并且可以约化为 \[ \boldsymbol{G}^{(p)}_{0} = \sum\limits_{r}^{t}a_{r}\boldsymbol{G}^{r} \] 其中，$t$为不可约表示的种类数。那么按照之前的结论，现在共有$\sum\limits_{r}^{t}a_{r}$个不可约表示，因此对应的能级共有$\sum\limits_{r}^{t}a_{r}$个。

使用对称性简化Schrodinger方程

考虑Schrodinger方程 \[ \hat{H} \psi = \varepsilon \psi \] 将$\psi$展开为 \[ \psi = \sum\limits_{p}\sum\limits_{\alpha_{p}}\sum\limits_{\mu} a_{\mu\alpha_{p}}^{(p)}\phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)} \] 将其带入，与$\phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)}$内积可得 \[ \sum\limits_{p}\sum\limits_{\alpha_{p}}\sum\limits_{\mu} a_{\mu\alpha_{p}}^{(p)} \left( \langle \phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)} | \hat{H} | \phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)}\rangle - \varepsilon \langle \phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)} \phi_{\mu\alpha_{p}}^{(p)}\rangle \right) = 0 \] 由正交性可得，只有当$p = q$、$\mu = \nu$时括号中才不为0。因此 \[ \sum\limits_{\alpha_{q}}a_{\nu\alpha_{q}}^{(q)} \left( \langle \phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)} | \hat{H} | \phi_{\nu\alpha_{q}}^{(q)}\rangle - \varepsilon \langle \phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)} \phi_{\nu\alpha_{q}}^{(q)}\rangle \right) = 0 \] 设 \[ G_{\alpha\beta}(q,\nu) = \langle \phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)} | \hat{H} | \phi_{\nu\alpha_{q}}^{(q)}\rangle - \varepsilon \langle \phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)} \phi_{\nu\alpha_{q}}^{(q)}\rangle \] 那么 \[ \sum\limits_{\alpha_{a}}a_{\nu\alpha_{q}}^{(q)} G_{q\nu} = 0 \] 上式是通过与$\phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)}$内积得到的。不难看出，对于所有的$\phi_{\nu\beta_{q}}^{(q)}$，做内积都应得到相同的结果（也就是0）。因此我们对$\nu$与$q$求和依然可以得到0。 \[ \sum\limits_{q}\sum\limits_{\nu}\sum\limits_{\alpha_{a}}a_{\nu\alpha_{q}}^{(q)} G_{\alpha\beta}(q,\nu) = 0 \] 如果我们将所有的$a_{\nu\alpha_{q}}^{(q)}$组成一个向量$\boldsymbol{a}$，将$G_{\alpha\beta}(q,\nu)$组成位于$(\alpha_{q}, \beta_{q})$元素的矩阵$\boldsymbol{G}$，那么上式变为 \[ \boldsymbol{G} \boldsymbol{a} = 0 \] 其有非零解的条件为 \[ \det \boldsymbol{G} = 0 \] 由于$\boldsymbol{G}$可以表示为分块矩阵 \[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{G}(1, 1) & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & \boldsymbol{G}(1, 2) & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 0 & 0 & \dots & \boldsymbol{G}(1, d_{1}) & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & \boldsymbol{G}(2, 1) & 0 & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & \boldsymbol{G}(2, 2) & \dots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \\ \end{bmatrix} \] 由行列式性质不难得到 \[ \prod\limits_{q = 1}^{s}\prod\limits_{\nu = 1}^{d_{q}} \det \boldsymbol{G}(q, \nu) = 0 \] 由于相同不可约表示对应的能级相同，因此只用求解 \[ \prod\limits_{q = 1}^{s}\det \boldsymbol{G}(q, 1) = 0 \] 其中，1也可以换成其他符号。要求解该方程，只需对每个$q$求解$\det\boldsymbol{G}(q, 1) = 0$即可。

不可约张量算符和Wigner-Eckart定理

我们将不可约张量算符定义为

定义（不可约张量算符）：

对于一组算符 \[ \left\{ \hat{J}^{(p)}_{\lambda} | \lambda = 1, 2, \dots, d_{p}\right\} \] 如果与群$G$对应的算符群$\hat{P}_{G}$满足 \[ \hat{P}_{g}\hat{J}^{(p)}_{\lambda}\hat{P}_{g}^{-1} = \sum\limits_{\mu = 1}^{d_{p}}\hat{J}_{\mu}^{(p)}\boldsymbol{G}_{\mu\lambda}(g),\quad \forall g \in G \] 那么我们称这一组算符为不可约张量算符。

如果$\left\{ \phi_{\mu}^{(q)}\right\}$是负载不可约表示$\boldsymbol{G}^{(q)}(g)$的基，那么有 \[ \hat{P}_{g} \hat{J}_{\lambda}^{(p)} \phi_{\mu}^{(q)} = \sum\limits_{\lambda', \mu'} \hat{J}_{\lambda'}^{(p)}\phi_{\mu'}^{(q)} \left( \boldsymbol{G}^{(p)}(g) \otimes \boldsymbol{G}^{(q)}(g)\right)_{\lambda'\mu', \lambda\mu} \] 也就是说，$\left\{ \hat{J}_{\lambda}^{(p)} \phi_{\mu}^{(q)}\right\}$负载了两个表示的直积$\boldsymbol{G}^{(p)}(g) \otimes \boldsymbol{G}^{(q)}(g)$。一般情况下，这种表示是可约表示。假设约化后的基为 \[ \left\{ \psi_{\mu}^{(r)\alpha} | \nu = 1, 2, \dots, d_{r},\quad \alpha = 1, 2, \dots, a_{r} \right\} \] 其可以用原来的基线性组合为 \[ \psi_{\nu}^{(r)\alpha} = \sum\limits_{\lambda, \mu} \bigg < \begin{aligned} & p & q \\ & \lambda & \mu \\ \end{aligned}\ \bigg |\ \begin{aligned} & r & \\ & \nu & \\ \end{aligned}\alpha \bigg > \hat{J}^{(p)}_{\lambda}\phi_{\mu}^{(q)} \] 由此，我们直接给出Wigner-Eckart定理，然后给出证明思路

定理（Wigner-Eckart定理）：

对于一组不可约张量算符$\left\{ \hat{J}_{\lambda}^{(p)} | \lambda = 1, 2, \dots, d_{p}\right\}$，其与负载不可约表示$\boldsymbol{G}^{(q)}(g)$的基$\left\{ \phi_{\mu}^{(q)}\right\}$的内积满足 \[ \langle \phi_{\sigma}^{(s)\gamma} | \hat{J}_{\lambda}^{(p)} | \phi_{\mu}^{(q)\varepsilon} \rangle = \sum\limits_{\alpha} \bigg < \begin{aligned} & p & q \\ & \lambda & \mu \\ \end{aligned}\ \bigg |\ \begin{aligned} & r & \\ & \nu & \\ \end{aligned}\alpha \bigg >^{*}\delta_{sr}\delta_{\sigma\nu} \left[ \dfrac{1}{l_{q}}\sum\limits_{\mu'}\langle \phi_{\mu'}^{(s)\gamma} | \psi_{\mu'}^{(r)}\alpha\rangle\right] \] 其中，$l_{q}$表示不可约表示$\boldsymbol{G}^{(q)}(g)$的维数，中括号内部的部分仅与$s$和$\alpha$相关。

证明：

要证明这一定理，需要先证明如下命题 \[ \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu} | \phi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle = \dfrac{1}{l_{p}}\delta_{pq}\delta_{\mu\nu} \sum\limits_{\mu'} \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu'} | \phi^{(q)\beta}_{\mu'} \rangle \] 对于这一命题，我们只需要利用算符$\hat{P}_{g}$为酉算符的性质，将上式左端变形为 \[ \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu} | \phi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle = \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu} | \hat{P}^{\dagger}_{g}\hat{P}_{g} | \phi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle \] 然后凑广义正交定理 \[ \begin{aligned} \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu} | \hat{P}^{\dagger}_{g}\hat{P}_{g} | \phi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle & = \dfrac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu} | \hat{P}^{\dagger}_{g}\hat{P}_{g} | \phi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle \\ & = \dfrac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} \left[ \left( \sum\limits_{\mu'} \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu'} | G_{\mu'\mu}^{(p)*}(g) \right) \left( \sum\limits_{\nu'} G_{\nu'\nu}^{(q)}(g) | \phi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle \right) \right] \\ & = \sum\limits_{\mu'}\sum\limits_{\nu'} \left[ \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu'} | \phi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle \left( \dfrac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} G_{\mu'\mu}^{(p)*}(g) G_{\nu'\nu}^{(q)}(g) \right) \right] \\ & = \sum\limits_{\mu'}\sum\limits_{\nu'} \left[ \dfrac{\delta_{pq}\delta_{\mu\nu}\delta_{\mu'\nu'}}{l_{p}}\langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu'} | \phi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle \right] \\ & = \dfrac{1}{l_{p}}\delta_{pq}\delta_{\mu\nu} \sum\limits_{\mu'} \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu'} | \phi^{(q)\beta}_{\mu'} \rangle \\ \end{aligned} \] 由此我们证明了这一命题。由于具体的函数形式对上式没有影响，有影响的是求和标签，因此 \[ \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu} | \hat{P}^{\dagger}_{g}\hat{P}_{g} | \psi^{(q)\beta}_{\nu} \rangle = \dfrac{1}{l_{p}}\delta_{pq}\delta_{\mu\nu} \sum\limits_{\mu'} \langle \phi^{(p)\alpha}_{\mu'} | \psi^{(q)\beta}_{\mu'} \rangle \] 在此基础上，我们有 \[ \begin{aligned} \langle \phi_{\sigma}^{(s)\gamma} | \hat{J}_{\lambda}^{(p)} | \phi_{\mu}^{(q)}\varepsilon \rangle & = \sum\limits_{r, \nu, \alpha} \bigg < \begin{aligned} & p & q \\ & \lambda & \mu \\ \end{aligned}\ \bigg |\ \begin{aligned} & r & \\ & \nu & \\ \end{aligned}\alpha \bigg >^{*} \langle \phi_{\sigma}^{(s)\gamma} | \phi_{\nu}^{(r)\alpha} \rangle \\ & = \sum\limits_{r, \nu, \alpha, \mu'} \bigg < \begin{aligned} & p & q \\ & \lambda & \mu \\ \end{aligned}\ \bigg |\ \begin{aligned} & r & \\ & \nu & \\ \end{aligned}\alpha \bigg >^{*} \dfrac{1}{l_{p}} \delta_{sr}\delta_{\sigma\nu} \langle \phi_{\mu'}^{(s)\gamma} | \psi_{\mu'}^{(r)\alpha} \rangle \\ & = \sum\limits_{\alpha} \bigg < \begin{aligned} & p & q \\ & \lambda & \mu \\ \end{aligned}\ \bigg |\ \begin{aligned} & r & \\ & \nu & \\ \end{aligned}\alpha \bigg >^{*}\delta_{sr}\delta_{\sigma\nu} \left[ \dfrac{1}{l_{q}}\sum\limits_{\mu'}\langle \phi_{\mu'}^{(s)\gamma} | \psi_{\mu'}^{(r)}\alpha\rangle\right] \end{aligned} \]

实表示

假设$\boldsymbol{G}(G)$是群$G$的表示，那么$\boldsymbol{G}^{*}(G)$也是群$G$的表示。针对这两个表示之间的关系，我们给出实表示的定义

定义（实表示）：

对于群$G$，如果其表示$\boldsymbol{G}(G)$与$\boldsymbol{G}(G)$等价，并且都等价于一个实数表示，那么我们称这样的表示为实表示。

可以用如下的定理来判断一个表示是否为实表示

定理：

对于群$G$，如果其表示$\boldsymbol{G}(G)$与$\boldsymbol{G}(G)$为等价的不可约表示，即$\exists \boldsymbol{C}$，使得 \[ \boldsymbol{G}^{*}(g) = \boldsymbol{C}\boldsymbol{G}(g)\boldsymbol{C}^{-1},\forall g \in G \] 那么$\boldsymbol{C}$满足 \[ \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} = \pm \boldsymbol{C} \] 如果$\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{C}$，那么$\boldsymbol{G}(G)$为实表示，反之为非实表示

证明：

对定义式两边取复共轭，然后由Schur引理可得 \[ \boldsymbol{C}^{*}\boldsymbol{C} = \lambda \boldsymbol{I} \] 假设$\boldsymbol{G}(G)$是酉矩阵，那么根据同样的思路可得 \[ \boldsymbol{C}^{\dagger}\boldsymbol{C} = \lambda'\boldsymbol{I} \] 由此可得 \[ |\det \boldsymbol{C}|^{2} = \lambda^{d} = \lambda'^{d} \] 由此 \[ \boldsymbol{C}^{\dagger}\boldsymbol{C} = \pm\boldsymbol{C}^{*} \boldsymbol{C} \] 即 \[ \boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} = \pm \boldsymbol{C} \]

实表示和特征标之间的关系为

定理：

对于群$G$，如果$\chi_{g}$是不可约表示$\boldsymbol{G}(g)$的特征标，那么 \[ \sum\limits_{g \in G} \chi(g^{2}) = \left\{\begin{aligned} & n,\quad \text{$\boldsymbol{G}(g)$是实表示} \\ & 0,\quad \text{$\boldsymbol{G}(g)$和$\boldsymbol{G}^{*}(g)$不等价} \\ & -n,\quad \text{$\boldsymbol{G}(g)$和$\boldsymbol{G}^{*}(g)$等价，但不是实表示} \\ \end{aligned}\right. \]

时间反演对称和附加简并

时间反演对称

如果物理量具有时间反演对称性，那么相反的物理过程也是可能的物理过程。在时间反演变换下有 \[ \left\{\begin{aligned} \boldsymbol{r} & \to \boldsymbol{r} \\ \boldsymbol{p} & \to -\boldsymbol{p} \\ \end{aligned}\right. \] 由于Hamilton算符为 \[ \hat{H} = \dfrac{\hat{\boldsymbol{p}}^{2}}{2m} + V(\boldsymbol{r}) \] 那么显然Hamilton算符在时间反演操作下是不变的。

不同自旋的粒子在时间反演下的表现不同。我们首先考虑自旋为0的粒子。这样的粒子满足下面的Schrodinger方程 \[ \mathrm{i}\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(\boldsymbol{r}, t) = \hat{H}\psi(\boldsymbol{r}, t) \] 作变换$t\to -t$，然后同时取复共轭，接着利用Hamilton算符的不变性，并假设 \[ \hat{T}\psi(\boldsymbol{r}, t) = \psi^{*}(\boldsymbol{r}, -t) \] 由此可得 \[ \mathrm{i}\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\hat{T}\psi(\boldsymbol{r}, t) = \hat{H}\hat{T}\psi(\boldsymbol{r}, t) \]

与通常的算符不同，时间反演算符是反线性算符，其满足 \[ \hat{T}(c_{1}\psi_{1} + c_{2}\psi_{2}) = c_{1}^{*}\hat{T}\psi_{1} + c_{2}^{*}\hat{T}\psi_{2} \]

对于不含时Schrodinger方程 \[ \hat{H}\psi(\boldsymbol{r}) = E\psi(\boldsymbol{r}) \] 如果Hamilton具有时间反演对称，也就是$\hat{H}\hat{T} = \hat{T}\hat{H}$，那么 \[ \hat{H}\hat{T}\psi(\boldsymbol{r}) = \hat{T}\hat{H}\psi(\boldsymbol{r}) = E\hat{T}\psi(\boldsymbol{r}) \] 这表明，$\hat{T}\psi(\boldsymbol{r})$也是满足Schrodinger方程的物理状态。

此外，如果我们假设了$\psi(\boldsymbol{r}, t)$可以通过分离变量的方式表示为 \[ \psi(\boldsymbol{r}, t) = \psi(\boldsymbol{r})\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i} E t}{\hbar}} \] 那么两边同时取复共轭，并作变换$t \to -t$可得 \[ \hat{T} \psi(\boldsymbol{r}, t) = \psi^{*}(\boldsymbol{r}, -t) = \psi^{*}(\boldsymbol{r}) \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i} E t}{\hbar}} \] 由此可得 \[ \hat{T}\psi(\boldsymbol{r}) = \psi^{*}(\boldsymbol{r}) \] 从而 \[ \hat{T}^{2}\psi(\boldsymbol{r}) = \psi(\boldsymbol{r}) \] 这表明，对于自旋为0的粒子，$\hat{T}^{2}$为恒等算符。

对于自旋为$\dfrac{1}{2}$的粒子，研究这一体系需要使用Dirac方程。由于笔者还没有学习这一部分，因此略去推导过程，直接给出结论：对于自旋为$\dfrac{1}{2}$的粒子，$\hat{T}^{2}$不再是恒等算符。

时间反演对称与附加简并的联系

附加简并指的是由于时间反演对称而产生的额外的简并度，或者说时间反演算符作用到原本的基函数上后，得到了一组新的简并函数。下面我们直接给出结论

定理（时间反演对称导致的附加简并）：

在某量子体系中，假设某一能级为$d$重简并的，$\left\{ \psi_{\mu} \right\}$为相对应的本征函数。假设这些本征函数可以负载满足时间反演对称的群$G$的不可约表示$\boldsymbol{G}(G)$，那么我们将时间反演算符作用于本征函数集合产生的新集合$\left\{ \hat{T} \psi_{\mu} \right\}$负载的不可约表示称为$\boldsymbol{G}(G)^{*}$。由此 1. 如果$\boldsymbol{G}(G)$与$\boldsymbol{G}(G)^{*}$不等价，那么体系是$2d$重简并的，也就是时间反演对称会产生附加简并。 2. 如果$\boldsymbol{G}(G) = \boldsymbol{G}(G)^{*}$是实表示，那么 1. 对于自旋为0的粒子，时间反演对称不产生附加简并 2. 对于自旋为$\dfrac{1}{2}$的粒子，体系是$2d$重简并的，也就是时间反演对称会产生附加简并。 3. 如果$\boldsymbol{G}(G)$与$\boldsymbol{G}(G)^{*}$等价，但不是实表示，那么 1. 对于自旋为0的粒子，体系是$2d$重简并的，也就是时间反演对称会产生附加简并。 2. 对于自旋为$\dfrac{1}{2}$的粒子，时间反演对称不产生附加简并。

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