向量代数
向量的叉乘
对于两个向量\(\boldsymbol{a}\)和\(\boldsymbol{b}\)，其叉乘\(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\)的大小满足 \[ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \theta \] 方向满足右手螺旋。
叉乘的性质
叉乘不满足交换律。 \[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = -\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} \]
如果两个平行的向量叉乘，那么结果为0。因此，如果\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)平行，那么 \[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = 0 \]
一个向量与其本身叉乘结果为0。 \[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{a} = 0 \]
标量三重积
对于三个矢量而言，如果其三重积形式为\(\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\)，那么其满足如下的“循环规律” \[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{c} \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}) \] 其可以写为如下的行列式形式 \[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{vmatrix} \]
矢量三重积
对于三个矢量而言，如果其三重积形式为\(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})\)，那么其可以表示为 \[ \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c} \]
梯度、散度和旋度
多元函数的Taylor展开
我们以二元函数为例，对于一般的二元函数\(f(x, y)\)，那么其Taylor展开式为 \[ \begin{aligned} f(x, y) & = f(x_{0}, y_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{0}}(x - x_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{0}}(y - y_{0}) \\ & + \dfrac{(x - x_{0}^{2})}{2!} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\bigg|_{\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{0}} + (x - x_{0})(y - y_{0})\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x \partial y}\bigg|_{\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{0}} + \dfrac{(y - y_{0}^{2})}{2!} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\bigg|_{\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_{0}} + \dots \\ \end{aligned} \] 其中，\(\boldsymbol{r} = (x, y)^{\mathrm{T}}\)，而\(\boldsymbol{r}_{0} = (x_{0}, y_{0})^{\mathrm{T}}\)。 ## 梯度 对于一个多元函数\(f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})\)而言，其全微分可写为 \[ \mathrm{d} f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}) = \sum\limits_{i = 1}^{n}\dfrac{\partial f}{\partial q_{i}}\mathrm{d} q_{i} \] 不难看出，这种求和很像两个向量点乘的结果。如果我们将其表示为向量点乘，那么可得 \[ \mathrm{d} f = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial q_{1}} & \dfrac{\partial f}{\partial q_{2}} & \dots & \dfrac{\partial f}{\partial q_{n}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{d} q_{1} \\ \mathrm{d} q_{2} \\ \vdots \\ \mathrm{d} q_{n} \end{bmatrix} \] 我们可以将第一个向量中的\(f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})\)提取出来，得到 \[ \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial q_{1}} & \dfrac{\partial f}{\partial q_{2}} & \dots & \dfrac{\partial f}{\partial q_{n}} \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial q_{1}} & \dfrac{\partial}{\partial q_{2}} & \dots & \dfrac{\partial}{\partial q_{n}} \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}) \] 此时，我们将提出\(f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})\)后得到的“向量”称为nabla算符，用符号\(\nabla\)表示。 \[ \nabla = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial q_{1}} & \dfrac{\partial}{\partial q_{2}} & \dots & \dfrac{\partial}{\partial q_{n}} \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \] 而\(\nabla f\)则被称为函数\(f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})\)在该点的梯度（Gredient）。不难看出，标量函数的梯度为一个向量。同时，多元函数\(f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})\)的全微分可写为 \[ \mathrm{d} f = \nabla f \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} \] 其中，我们可将\(\mathrm{d} \boldsymbol{l} = \begin{bmatrix} \mathrm{d} q_{1} & \mathrm{d} q_{2} & \dots & \mathrm{d} q_{n} \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}\)视为函数在某点的变化方向。由于在某点处，函数的梯度是一定的，因此只有当\(\mathrm{d} \boldsymbol{l}\)与\(\nabla f\)的方向相同时，函数的全微分最大。由此可得，梯度\(\nabla f\)的方向为函数\(f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})\)有最大增加的方向，而梯度的大小\(|\nabla f|\)为\(f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})\)在该方向的斜率。
当梯度为0时，函数可能处于极值点（极大值或极小值）、鞍点（某方向为极大值，其他方向为极小值）或肩点（上升或下降中的平坦点）。
对于普通向量，我们有数乘、点乘和叉乘三种乘法。由于nabla算符类似向量，我们也可以类似地规定其与普通函数的三种作用方式：
作用在标量函数\(f\)上：\(\nabla f\)
通过点乘作用在矢量函数\(\boldsymbol{F}\)上：\(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\)
通过叉乘作用在矢量函数\(\boldsymbol{F}\)上：\(\nabla \times \boldsymbol{F}\)
其中，第二种方式得到的结果被称为散度（Divergence），第三种方式得到的结果被称为旋度（Curl）。
保守场中的梯度
首先，如果在一个向量场\(\boldsymbol{F}\)中，对于任意的环路\(L\)，环路积分均满足 \[ \oint_{L} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = 0 \] 那么我们称这个向量场为保守的。结合上文对于梯度的论述，我们不难得到如下定理
定理：
如果有一向量场\(\boldsymbol{F}\)与标量场\(\phi\)之间满足 \[ \boldsymbol{F} = \nabla \phi \] 并且\(\nabla \phi\)在区域\(D\)上存在，那么\(\boldsymbol{F}\)在区域\(D\)上为保守场。
证明：
由于\(\boldsymbol{F} = \nabla \phi\)，因此 \[ \int_{L} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \int_{L} \nabla \phi \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \int_{L} \mathrm{d} \phi = \phi(B) - \phi(A) \]
如下的逆命题不难证明 >定理： > >如果\(\boldsymbol{F}\)在区域\(D\)上为保守场，并且\(\nabla \phi\)在区域\(D\)上存在，那么向量场\(F\)和标量场\(\phi\)之间满足 \[ \boldsymbol{F} = \nabla \phi \]
散度
由\(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\)不难得到 \[ \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial q_{1}} & \dfrac{\partial}{\partial q_{2}} & \dots & \dfrac{\partial}{\partial q_{n}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{1} \\ F_{2} \\ \vdots \\ F_{n} \end{bmatrix} = \sum\limits_{i = 1}^{n} \dfrac{\partial F_{i}}{\partial q_{i}} \] 显然，一个矢量函数\(\boldsymbol{F}\)的散度为标量。对于散度，通过想象水体能得到较为直观的理解。如果一个点是向外净流出水的，那么该点的散度为正。如果一个点是向内净流出水的，那么该点的散度为负。
旋度
对于三维的情况，由\(\nabla \times \boldsymbol{F}\)不难得到 \[ \nabla \times \boldsymbol{F} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \boldsymbol{z} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \\ \end{vmatrix} \] 显然，一个矢量函数\(\boldsymbol{F}\)的旋度为矢量。对于旋度，通过想象水体也能得到较为直观的理解。在水体中，每一点的旋度方向均满足右手螺旋。
二阶微分
对于梯度、散度和旋度，我们可再对其使用nabla算符。
由于梯度为矢量，因此可得梯度的散度\(\nabla \cdot (\nabla f)\)和梯度的旋度\(\nabla \times (\nabla f)\)。
由于散度为标量，因此可得散度的梯度\(\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F})\)。
由于旋度为矢量，因此可得旋度的散度\(\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F})\)和旋度的旋度\(\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F})\)。
然而，这5个量并不都独立，我们下面分别讨论这5个量：
梯度的散度\(\nabla \cdot (\nabla f)\)：由运算法则可得 \[ \nabla \cdot (\nabla f) = \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} \] 由此，我们定义Laplace算符为 \[ \nabla^{2} = \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \] 有时，我们会将Laplace算符作用于矢量函数。假设这个矢量函数为\(\boldsymbol{F}\)，那么 \[ \nabla^{2} \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} \nabla^{2} F_{x} & \nabla^{2} F_{y} & \nabla^{2} F_{z} \\ \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \]
梯度的旋度\(\nabla \times (\nabla f)\)：由旋度的定义可得 \[ \nabla \times \boldsymbol{F} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \boldsymbol{z} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} & \dfrac{\partial f}{\partial z} \\ \end{vmatrix} \] 对于展开式中含\(\boldsymbol{x}\)的项，我们不难得到其系数为 \[ \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right) - \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) = 0 \] 同理可得含\(\boldsymbol{y}\)和\(\boldsymbol{z}\)的项，其系数也为0。由此可得 \[ \nabla \times (\nabla f) = 0 \] 我们可以简单地将上述结果记为“梯无旋”。
散度的梯度\(\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F})\)：这个量在物理中较少运用，注意其与Laplace算符的结果不同。
旋度的散度\(\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F})\)：由矢量恒等式 \[ \boldsymbol{A} \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{C} \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) \] 可得 \[ \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \boldsymbol{F} \cdot (\nabla \times \nabla) \] 而\(\nabla \times \nabla\)为 \[ \nabla \times \nabla = \begin{vmatrix} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \boldsymbol{z} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ \end{vmatrix} \] 由行列式的性质可知，这一行列式必然为0。因此 \[ \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = 0 \] 我们可以简单地将上述结果记为“旋无散”。
旋度的旋度\(\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F})\)：由旋度的定义可得 \[ \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \begin{vmatrix} \boldsymbol{x} & \boldsymbol{y} & \boldsymbol{z} \\ \dfrac{\partial }{\partial x} & \dfrac{\partial }{\partial y} & \dfrac{\partial }{\partial z} \\ \dfrac{\partial F_{z}}{\partial y} - \dfrac{\partial F_{y}}{\partial z} & \dfrac{\partial F_{x}}{\partial z} - \dfrac{\partial F_{z}}{\partial x} & \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x} - \dfrac{\partial F_{x}}{\partial y} \\ \end{vmatrix} \] 将其展开可得 \[ \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{F}) - \nabla^{2} \boldsymbol{F} \] 因此，我们可以看到，旋度的旋度并不是独立的。这个量可以由矢量函数的散度的梯度\(\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F})\)，以及其与Laplace算符作用得到的结果\(\nabla^{2} \boldsymbol{F}\)表示。
积分运算
有关梯度的基本定理
由于多元函数\(f(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n})\)的全微分可以表示为 \[ \mathrm{d} f = \nabla f \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} \] 而其从点\(A\)到点\(B\)的积分又可表示为 \[ \int_{A}^{B} \mathrm{d} f = f(B) - f(A) \] 因此我们可得 \[ \int_{A}^{B} \nabla f \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = f(B) - f(A) \] 不难看出，这一积分只与始末位置有关，与积分经过的过程无关。因此我们可以得到如下推论 \[ \oint \nabla f \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = 0 \]
有关散度的基本定理
散度的基本定理表示为 \[ \int_{V}(\nabla \cdot \boldsymbol{F}) \mathrm{d} \tau = \oint_{S}\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 上式被称为Green公式或Green定理。由于我们常用的为三维空间。因此其中的\(V\)代表一个三维积分区域，而\(S\)表示该积分区域的边界（也就是表面）。从直观上，如果我们将某点的散度理解为通量强度，那么我们可以将上式理解为某个区域内的通量强度之和等于该区域表面的通量之和。
有关旋度的基本定理
旋度的基本定理表示为 \[ \int_{S}(\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = \oint_{L}\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} \] 上式被称为Stokes定理。其中，\(L\)为区域\(S\)的边界。如果我们将每一点的旋度看作该点的环流量强度，那么Stokes定理表明，一个区域内的环流量强度之和与其边界上的环流量相等。注意，此时线积分的方向由右手定律决定。
不难看出，此时面积分\(\int_{S}(\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}\)仅取决于边界，与所选取的面无关。同时，对于任意的闭合曲面，如果我们将其按曲面上一条闭合曲线分为两部分，那么此时对得到的两部分曲面同时使用Stokes定理可得 \[ \iint_{S_{t}}(\nabla \times \boldsymbol{F}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = 0 \] 其中，\(S_{t}\)表示整个曲面（本来想要使用，但是环境不支持）。
曲线坐标系
球坐标系
下面给出了直角坐标系和球坐标系的转换公式 \[ \left \{ \begin{aligned} x = & r\sin \varphi \cos \theta \\ y = & r\sin\varphi\sin\theta \\ z = & r\cos\varphi \\ \end{aligned} \right. \] 类似直角坐标系，我们用单位向量\(\boldsymbol{e}_{r}\)、\(\boldsymbol{e}_{\theta}\)和\(\boldsymbol{e}_{\varphi}\)与对应的分量表示球坐标系中的每个点。将其在直角坐标系中分解可得 \[ \left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{e}_{r} = & \sin \varphi \cos \theta \boldsymbol{x} + \sin \theta \sin \varphi \boldsymbol{y} + \cos \theta \boldsymbol{z} \\ \boldsymbol{e}_{\theta} = & \cos \varphi \cos \theta \boldsymbol{x} + \sin \theta \cos \varphi \boldsymbol{y} - \sin \theta \boldsymbol{z} \\ \boldsymbol{e}_{\varphi} = & -\sin \theta \boldsymbol{x} + \cos \theta \boldsymbol{y} \\ \end{aligned} \right. \] 同时，在\(\boldsymbol{e}_{r}\)的微小位移为 \[ \mathrm{d} l_{r} = \mathrm{d} r \] 在\(\boldsymbol{e}_{\theta}\)的微小位移为 \[ \mathrm{d} l_{\theta} = r\sin \varphi\mathrm{d} \theta \] 在\(\boldsymbol{e}_{\varphi}\)的微小位移为 \[ \mathrm{d} l_{\varphi} = r \mathrm{d} \varphi \] 这样，一般的无限小位移可表示为 \[ \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \mathrm{d} r\boldsymbol{e}_{r} + r\sin \varphi\mathrm{d} \theta \boldsymbol{e}_{\theta} + r \mathrm{d} \varphi\boldsymbol{e}_{\varphi} \] 而无限小的体积元可表示为 \[ \mathrm{d} \tau = r^{2}\sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi \]
对于梯度，其在直角坐标系中可以很简单地表示为 \[ \nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{x} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{y} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{z} \] 为了求出其在球坐标系中的表示，我们可以先按照链式法则得到 \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial f}{\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial x} + \dfrac{\partial f}{\partial \varphi}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} \] 同理可得其他两个偏导数的表达式。然后按照依此将对\(x\)、\(y\)和\(z\)的偏导表示为对\(r\)、\(\theta\)和\(\varphi\)的偏导。最后将\(\boldsymbol{x}\)、\(\boldsymbol{y}\)和\(\boldsymbol{z}\)的表达式代入即可。我们只需记住最后的结果即可。最终梯度为 \[ \nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{e}_{r} + \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{e}_{\varphi} + \dfrac{1}{r \sin \varphi}\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{e}_{\theta} \] 而散度为 \[ \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial }{\partial r}(r^{2}F_{r}) + \dfrac{1}{r\sin \varphi}\dfrac{\partial}{\partial \varphi}(\sin \varphi F_{\varphi}) + \dfrac{1}{r\sin\varphi}\dfrac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta} \]
柱坐标系
下面给出了直角坐标系和柱坐标系的转换公式 \[ \left \{ \begin{aligned} x = & s\cos \theta \\ y = & s\sin \theta \\ z = & z \\ \end{aligned} \right. \] 而单位矢量的转换公式为 \[ \left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{e}_{s} = & \cos \theta \boldsymbol{x} + \sin \theta \boldsymbol{y} \\ \boldsymbol{e}_{\theta} = & -\sin \theta \boldsymbol{x} + \cos \theta \boldsymbol{y} \\ \boldsymbol{e}_{z} = & \boldsymbol{z} \\ \end{aligned} \right. \] 不难得出，无限小的线元为 \[ \mathrm{d} l = \mathrm{d} s\boldsymbol{e}_{s} + s\mathrm{d} \theta\boldsymbol{e}_{\theta} + \mathrm{d} z\boldsymbol{e}_{z} \] 而体积元为 \[ \mathrm{d} \tau = s \mathrm{d} s \mathrm{d} \theta \mathrm{d} z \] 梯度为 \[ \nabla f = \dfrac{\partial f}{\partial s}\boldsymbol{e}_{s} + \dfrac{1}{s} \dfrac{\partial f}{\partial \theta} \boldsymbol{e}_{\theta} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{e}_{z} \]
Dirac函数
引入——\(\boldsymbol{e}_{r}/r^{2}\)的散度问题
考虑矢量函数 \[ \boldsymbol{F} = \dfrac{\boldsymbol{e}_{r}}{r^{2}} \] 其中，函数\(\boldsymbol{F}\)在每一点的方向均指向外。我们很容易认为这个函数有很大的正散度。但是计算可得 \[ \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial }{\partial r}\left( r^{2} \cdot \dfrac{1}{r^{2}}\right) = 0 \] 然而，如果我们对球心在原点，半径为\(R\)的球面进行积分，那么可得 \[ \oint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = \iint \left(\dfrac {\boldsymbol{e}_{r}}{r^{2}}\right) \cdot (r^{2}\sin \varphi\mathrm{d} \theta\mathrm{d} \varphi\boldsymbol{e}_{r}) = \iint \sin \varphi \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi = 4\pi \] 这样，我们会得到一个奇怪的结果 \[ \oint_{S} \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \neq \int_{V} (\nabla \cdot \boldsymbol{F}) \mathrm{d} \tau \] 问题出在哪里？仔细观察会发现，我们所计算的散度并不包括原点的散度。那么，如果Green公式是正确的，那么原点的散度将贡献所有通量强度。下面我们对其进行仔细讨论。
一维Dirac函数
所谓Dirac函数，在一维情况下指的是 \[ \delta(x) = \left \{ \begin{aligned} & 0, \quad x \neq 0 \\ & \infty, \quad x = 0 \\ \end{aligned} \right. \] 并且其在整个\(x\)轴上的积分为 \[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \mathrm{d} x = 1 \]
对于一个普通函数\(f(x)\)，其与Dirac函数之积为 \[ f(x)\delta(x) = \left \{ \begin{aligned} & 0 = f(0)\delta(x), \quad x \neq 0 \\ & f(0)\delta(0), \quad x = 0 \\ \end{aligned} \right. \] 因此，我们可以将任意一个普通函数与Dirac函数之积写为 \[ f(x)\delta(x) = f(0)\delta(x) \] 这样，我们可以得到 \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x) \mathrm{d} x = f(0)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \mathrm{d} x = f(0) \] 因此如同Kronecker符号一样，Dirac函数能够“挑选”出所需的函数值。如果我们想挑选别的函数值，只需要使用Dirac函数的变形 \[ \delta(x - a) = \left \{ \begin{aligned} & 0, \quad x \neq a \\ & \infty, \quad x = a \\ \end{aligned} \right. \] 这样 \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x - a) \mathrm{d} x = f(a) \]
三维Dirac函数
很容易将Dirac函数推广到如下的三维情况： \[ \delta^{3}(\boldsymbol{r}) = \delta(x) \delta(y)\delta(z) \] 其对于整个三维空间的积分为 \[ \int_{V_{\mathrm{t}}}\delta^{3}(\boldsymbol{r})\mathrm{d} \tau = \iiint \delta(x) \delta(y)\delta(z) \mathrm{d} x\mathrm{d} y\mathrm{d} z = 1 \] 其中，\(V_{\mathrm{t}}\)表示整个空间上的积分。
同样，三维Dirac函数可以将函数值挑选出来 \[ \int_{V_{\mathrm{t}}}f(\boldsymbol{r})\delta^{3}(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{a}) \mathrm{d}\tau = f(\boldsymbol{a}) \]
现在我们回过去看\(\dfrac{\boldsymbol{e}_{r}}{r^{2}}\)的散度。这个函数除原点外的散度均为0，且散度对于包含原点的积分为常数。因此我们可以将散度视为基于Dirac函数的函数 \[ \nabla \cdot \left( \dfrac{\boldsymbol{e}_{r}}{r^{2}} \right) = 4\pi \delta^{3}(\boldsymbol{r}) \]
指标表示法
指标表示法的引入
考虑一个简单的向量方程 \[ \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \] 我们可以将其写为如下的标量形式 \[ c_{i} = a_{i} + b_{i} \quad (i = 1, 2, 3) \] 其中，\(a_{i}\)、\(b_{i}\)和\(c_{i}\)分别为三个向量的分量。我们将下标\(i\)称为自由指标。需要注意的是，如果一个指标为自由指标，那么其必须与每一项匹配。
对于向量的点乘，假设两个向量分别为\(\boldsymbol{a}\)和\(\boldsymbol{b}\)，那么其点乘可表示为 \[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_{j}b_{j} \] 这种表示方法被称为求和约定。如果一个指标在同一项中出现两次，那么我们将其称为哑指标。对于哑指标，求和确约定要求对哑指标求和。例如，我们可以用求和约定表示如下的向量点乘 \[ (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})(\boldsymbol{c} \cdot\boldsymbol{d}) = a_{j}b_{j}c_{k}d_{k} \]