恒定磁场

磁的基本现象和基本规律

磁的基本现象

同号磁极相互排斥，异号磁极相互吸引。

Ampere定律

Ampere定律是恒定磁场的基本规律，下面我们来说明它。

在研究两带电体相互作用时，我们是通过将其分割为无穷小带电元，然后研究两带电元之间的规律，并通过矢量叠加的方式求出的。因此，我们首先来研究一对电流元的规律。

此处先给出结论，不进行论证。

大致关系

假设$\mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12}$是电流元1给电流元2的力，而$I_{1}$与$I_{2}$分别为其电流强度，$\mathrm{d} l_{1}$与$\mathrm{d} l_{2}$为两线元长度，$r_{12}$为二者之间距离。这样$\mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12}$满足

\[\begin{equation} \mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12} \propto \dfrac{I_{1}I_{2}\ \mathrm{d} l_{1} \mathrm{d} l_{2}}{r_{12}^{2}} \boldsymbol{e}_{r_{12}} \end{equation}\]

与电流元方向的关系

$\mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12}$的大小还和两电流元方向有关。此时假设$\boldsymbol{r}_{12}$为电流元1到电流元2的径矢，而线元表示为$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1}$、$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2}$。

（1）两电流元共面情况

如图所示，此时$\mathrm{d} F_{12}$满足 \[ \mathrm{d} F_{12} \propto \sin \theta_{1} \]

（2）两电路元异面情况

不难想到，此时应当考虑电流元的投影，这样$\mathrm{d} F_{12}$就满足 \[ \mathrm{d} F_{12} \propto \sin \theta_{2} \]

结论

将以上结果综合起来，可以得到 \[ \mathrm{d} F_{12} = k\dfrac{I_{1}I_{2}\ \mathrm{d} l_{1}\sin \theta_{1}\ \mathrm{d} l_{2}\sin \theta_{2}}{r_{12}^{2}} \] 此时，$\mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12}$的方向为在$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1}$与$\boldsymbol{r}_{12}$组成的平面内，且与$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2}$垂直。

为了表示出其方向，我们可以这样思考：既然$\mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12}$在在$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1}$与$\boldsymbol{r}_{12}$组成的平面内，那么其必然与平面的法向量$\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$垂直。而由于$\mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12}$又与$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2}$垂直，因此为上述两向量所在平面的法向量。结合相关数学知识，我们可以将法向量表示为叉乘的形式，这样就可以得到Ampere定理的以下表示形式： \[\begin{equation} \mathrm{d} \boldsymbol{F}_{12} = k\dfrac{I_{1}I_{2}\ \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2} \times \left( \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1} \times \boldsymbol{e}_{12} \right) }{r_{12}^{2}} \end{equation}\]

在SI制中，比例系数$k$为 \[\begin{equation} k = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \end{equation}\] 其中，$\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}$

磁感应强度矢量

为了定量地描述磁场的分布，我们引入磁感应强度矢量。作为借鉴，我们先来回顾以下场强的引入。场强是通过Coulomb定律引入的 \[ \boldsymbol{F}_{12} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{12}}\boldsymbol{e}_{12} \] 此时可将上式拆解为 \[ \boldsymbol{F}_{12} = q_{2}\boldsymbol{E}\ \mbox{和}\ \boldsymbol{E} = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \dfrac{q_{1}}{r_{12}^{2}}\boldsymbol{e}_{12} \]

在磁场的情形中，Ampere定律取代了Coulomb定律的位置。如果我们将电流元$I_{2}\ \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2}$视为试探电流元，那么整个回路$L_{1}$对于试探电流元的作用力$\mathrm{d} \boldsymbol{F}_{2}$应当为 \[ \mathrm{d} \boldsymbol{F}_{2} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \oint_{L_{1}} \dfrac{I_{1}I_{2}\ \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2} \times \left( \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1} \times \boldsymbol{e}_{12} \right) }{r_{12}^{2}} \] 由叉乘分配律$\boldsymbol{A} \times \left( \boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}\right) = \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{C}$可得 \[\begin{equation} \mathrm{d} \boldsymbol{F}_{2} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi}I_{2}\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2} \times \oint_{L_{1}} \dfrac{I_{1}\left( \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1} \times \boldsymbol{e}_{12} \right) }{r_{12}^{2}} \end{equation}\] 仿照$\boldsymbol{F}_{12} = q_{2}\boldsymbol{E}$可得 \[\begin{equation} \mathrm{d} \boldsymbol{F}_{2} = I_{2}\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2} \times \boldsymbol{B} \end{equation}\] 这样就得到 \[\begin{equation} \boldsymbol{B} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \oint_{L_{1}} \dfrac{I_{1}\left( \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1} \times \boldsymbol{e}_{12} \right) }{r_{12}^{2}} \end{equation}\] 其中，为磁感应强度。的单位为特斯拉，用T表示。同时的单位还可以为高斯，用Gs表示，二者之间的换算关系为 \[ 1 \mathrm{T} = 10^{4} \mathrm{Gs} \]

下面我们对上式做一些说明。先看的定义式。如果只考虑矢量的大小，那么由上式可得 \[\begin{equation} \mathrm{d} F_{12} = I_{2}\ \mathrm{d} l_{2} B \sin \theta \end{equation}\] 其中，$\theta$为与$I_{2}\mathrm{d} l_{2}$之间夹角。

接下来，我们来看电流产生磁场的公式。此式将闭合回路产生的磁感应强度看做电流元产生的元磁感应强度$\mathrm{d} \boldsymbol{B} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \dfrac{I_{1}\left( \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1} \times \boldsymbol{e}_{12} \right) }{r_{12}^{2}}$的矢量叠加。实际上 \[ \boldsymbol{B} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \oint_{L_{1}} \dfrac{I_{1}\left( \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1} \times \boldsymbol{e}_{12} \right) }{r_{12}^{2}} \] 正是Biot-Savart定律，我们将要在接下来讨论它。

像电场的分布可以用电场线来描述一样，磁场的分布也可以用磁感应线来描述。

载流回路的磁场

Biot-Savart定律

在上节我们就知道了Biot-Savart定律的微分形式为 \[\begin{equation} \mathrm{d} \boldsymbol{B} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \dfrac{I \mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1} \times \boldsymbol{e}_{r} }{r^{2}} \end{equation}\] 其中单位矢量$\boldsymbol{e}_{r}$从电流元指向目标点。由上式可得，磁感应强度的方向为以$\mathrm{d} \boldsymbol{l}$为圆心的同心圆的切线方向，也就是满足右手定则。

下面我们利用上式与其积分形式 \[\begin{equation} \boldsymbol{B} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \oint_{L_{1}} \dfrac{I \mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e}_{r} }{r^{2}} \end{equation}\] 计算一些特殊形式的载流回路产生的磁场。

载流直导线的磁场

由Biot-Savart定律可得，对于载流直导线而言，任意电流元在同一点P 产生的磁感应强度方向相同。因此，我们只需要求各电流元产生的$\mathrm{d} \boldsymbol{B}$的代数和即可。

我们以过点P 所做的垂线的垂足为原点O ，那么磁感应强度就等于 \[ B = \int_{A_{1}}^{A_{2}}\mathrm{d} B = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int_{A_{1}}^{A_{2}} \dfrac{I \mathrm{d} l \sin \theta}{r^{2}} \] 由于$l = -r\cos \theta$，同时$r_{0} = r\sin \theta$，因此有 \[ \mathrm{d} l = \dfrac{r_{0}\mathrm{d} \theta}{\sin^{2}\theta} \] 这样就可以得到 \[ B = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \dfrac{I\sin ^{3}\theta}{r_{0}^{2}} \dfrac{r_{0}}{\sin^{2}\theta} \mathrm{d} \theta = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \dfrac{I\sin \theta}{r_{0}} \mathrm{d} \theta \] 即 \[\begin{equation} B = \dfrac{\mu_{0}I}{4\pi r_{0}}\left( \cos \theta_{1} - \cos \theta_{2}\right) \end{equation}\]

假如导线为无限长，那么磁感应强度的大小为 \[\begin{equation} B = \dfrac{\mu_{0} I}{2\pi r_{0}} \end{equation}\] 此时，磁感应强度的方向可以由右手定则判断。

载流圆线圈轴线上的磁场

设圆线圈的中心为O ，那么线圈所产生磁感应强度如图所示。需要注意的是，在线圈上相对位置的两个电流元，产生的磁感应强度$\mathrm{d} \boldsymbol{B}$可以加和，从而通过抵消只剩下水平方向的磁感应强度。由图可得，加和后的磁感应强度$\mathrm{d} \boldsymbol{B}'$满足 \[ \mathrm{d} \boldsymbol{B}' = 2\cos \alpha\ \mathrm{d} \boldsymbol{B} = 2\cos \alpha\ \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \dfrac{I \mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{e}_{r} }{r^{2}} \] 这样，由于$\mathrm{d} l = R \mathrm{d} \theta$，以及$r_{0} = r \sin \alpha$，因此由Biot-Savart定律可得 \[ B = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int_{0}^{\pi} 2\cos \alpha\ \dfrac{IR}{r^{2}_{0}} \sin^{2} \alpha\ \mathrm{d} \theta \] 计算可得 \[\begin{equation} B = \dfrac{\mu_{0}IR^{2}}{2\left( R^{2} + r_{0}^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}} \end{equation}\]

载流螺线管中的磁场

下面计算载流螺线管轴线上的磁感应强度。假设螺线管的半径为$R$，总长度为$L$，单位长度内的匝数为$n$。如果螺线管是密绕，计算轴向磁场时，我们可以将其近似看为一系列圆线圈紧密排列组成的。假设其轴线为$x$轴，其中点为原点O ，那么位于$l$处附近$\mathrm{d} l$内有$n\mathrm{d} l$匝线圈，因此其在O 产生的磁感应强度$\mathrm{d} B$为 \[ \mathrm{d} B = \dfrac{\mu_{0}IR^{2}}{2\left[ R^{2} + \left( x - l \right) ^{2} \right] ^{\frac{3}{2}}} n \mathrm{d} l \] 积分可得 \[ B = \dfrac{n\mu_{0}IR^{2}}{2} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \dfrac{\mathrm{d} l}{2\left[ R^{2} + \left( x - l \right) ^{2} \right] ^{\frac{3}{2}}} \]

由图可得，$x - l = R $，两侧同时微分有$$ l = R \[ 带入上式可得 \] B = {{1}}^{{2}} \[ 即 \begin{equation} B = \dfrac{n\mu_{0}I}{2} \left( \cos \beta_{1} - \cos \beta_{2} \right) \end{equation} 其中 \] {1} = _{2} = $$ 下面讨论两种特殊情况

（1）对于无限长的螺线管而言，$L \to \infty$，此时$\cos \beta_{1} = 1$，$\cos \beta_{2} = -1$，因此 \[ B = n\mu_{0}I \]

（2）对于半无限长的螺线管，其有限一端的磁感应强度为 \[ B = \dfrac{n\mu_{0}I}{2} \] 不难想到，对于这种情况，半无限长螺线管产生的磁感应强度只有无限长螺线管的一半。

磁场的“Gauss定理”和Ampere环路定理

磁场的“Gauss定理”

仿照引入电场强度通量的方式，我们规定通过曲面$S$的磁感应通量（简称磁通量）为 \[\begin{equation} \varPhi_{B} = \iint_{S} \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \end{equation}\] 磁通量的单位为$\mathrm{T \cdot m^{2}}$，这一单位也被定义为韦伯，用Wb表示。反过来，我们也可将磁感应强度视为单位面积磁通量，也就是磁通密度。正如电场强度通量$\varPhi_{E}$代表通过曲面的电场线数目一样，磁通量也可被理解为$\varPhi_{B}$通过曲面的磁感线数量。这样，磁感应强度就代表通过单位垂直面积的磁感线数目。

下面说明磁通量所服从的物理规律。

由于载流导线产生的磁感线是无始无终的闭合曲线，因此对于空间中某曲面$S$，磁感线的穿入量与穿出量相等，因此通过此曲面的磁通量恒为0，即 \[\begin{equation} \varoiint_{S} \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = 0 \end{equation}\] 我们姑且将上述定理称为磁场的“Gauss定理”。下面我们用Biot-Savart定律证明上述定理。

磁场的“Gauss定理”的证明

单个电流元的情况

由右手定则（本质上是Biot-Savart定律）可得，对于单个电流元，其所产生的磁感线是以$\mathrm{d} \boldsymbol{l}$为轴线的圆。这样不难想到，对于任意闭合曲面$S$，磁感线要么与其不相交，要么同时穿入与穿出。因此，下面我们只考虑贯穿的磁感线。

在上述闭合曲面上取一面元$\mathrm{d} S_{1}$，假设通过面元$\mathrm{d} S_{1}$进入闭合曲面的磁感线通过$\mathrm{d} S_{2}$穿出，那么 \[ \mathrm{d} \varPhi_{B_{i}} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \dfrac{I\mathrm{d} l\sin \theta}{r^{2}}\mathrm{d} S_{i} \cos \theta_{i} = \mp \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \dfrac{I\mathrm{d} l\sin \theta}{r^{2}}\mathrm{d} S_{i}^{*}\quad \left( i = 1, 2\right) \] 其中，$\mathrm{d} S_{i}^{*}$表示$\mathrm{d} S_{i}$在磁感线方向的投影，$\theta$为电流元方向$\mathrm{d} \boldsymbol{l}$与径矢$\boldsymbol{r}$之间的夹角。同时，当上式用投影面积表示时，$i = 1$时为负号，$i = 2$时为正号。由于前文所述的对于单个电流元，其所产生的磁感线是以$\mathrm{d} \boldsymbol{l}$为轴线的圆，因此磁感线的投影面积满足 \[ \mathrm{d} S_{1}^{*} = \mathrm{d} S_{2}^{*} \] 由此可得 \[ \mathrm{d} \varPhi_{B_{1}} + \mathrm{d} \varPhi_{B_{2}} = 0 \] 由于我们在选取磁感线时没有规定条件，因此由磁感线选择的任意性不难看出，对于任意的单个电流元 \[ \varoiint_{S} \boldsymbol{B}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = 0 \] 恒成立。

闭合回路的情况

由于磁场满足叠加原理，因此任意载流回路产生的总磁场可以看做是很多单个电流元的叠加。从而通过某一面元$\mathrm{d} S$的总磁通量$\varPhi_{B}$等于各电流元的磁通量$\mathrm{d} \varPhi_{B}$的加和。

至此，我们证明了磁场的“Gauss定理”。

在通常情况下，载流回路所产生的磁感应管，一般来说截面都是不均衡的。因此，如果我们此时选取一磁感应管所经过的一对面元$\mathrm{d} S_{1}$和$\mathrm{d} S_{2}$，那么通常会有 \[ \mathrm{d} S_{1} \neq \mathrm{d} S_{2} \] 那么，由于$\mathrm{d} \varPhi_{B} = \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$，同时$\mathrm{d} \varPhi_{1} + \mathrm{d} \varPhi_{2} = 0$。因此，在磁感应强度较大的地方，面元$\mathrm{d} S$通常较小，也就是磁感线密度较大。反之亦然。

Ampere环路定理

如果我们将磁感应强度沿着任意磁感线进行积分，由于磁感应强度总是磁感线的切线方向，因此显然有 \[ \oint_{L} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} \neq 0 \] Ampere环路定理反映了磁感线这一特点。

Ampere环路定理的表述

Ampere环路定理表述如下：在恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路$L$的线积分，等于穿过这个管路的所有电流强度I 的代数和的$\mu_{0}$倍，即 \[\begin{equation} \oint_{L} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \mu_{0} \sum\limits_{L\mbox{内}} I \end{equation}\] 其中，对于电流I 的正负规定如下：

（1）当穿过回路$L$的电流方向与环绕方向符合右手定则时，$I > 0$

（2）当穿过回路$L$的电流方向与环绕方向不符合右手定则时，$I < 0$

为了叙述方便，以下我们将上式中闭合积分回路$L$称为“Ampere环路”。Ampere环路定理也可以由Biot-Savart定理出发证明。为了简单起见，下面我们只考虑单一载流回路。如果需要推广到多个载流回路，只需要使用叠加原理即可。

对Ampere环路定理的证明

为了区别Ampere环路$L$上的线元，我们用$\mathrm{d} \boldsymbol{l}'$表示载流回路$L'$上的线元。

如图所示，点P 沿的移动与载流回路$L'$沿$-\mathrm{d} \boldsymbol{l}$的移动等价。由Biot-Savart定律有 \[ \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \oint_{L'}\dfrac{I \mathrm{d} \boldsymbol{l}' \times \boldsymbol{e}_{r}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}}{r^{2}} = - \dfrac{\mu_{0}I}{4\pi} \oint_{L'}\dfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}' \times \left( -\mathrm{d} \boldsymbol{l} \right) \cdot \boldsymbol{e}_{r}'}{r^{2}} \] 其中，$\boldsymbol{e}_{r}$为电流元到P 的单位径矢，而$\boldsymbol{e}_{r}' = - \boldsymbol{e}_{r}$代表P 到电流元的单位径矢。同时，$ ' ( - ) $等于电流元$I '$位移时产生的面元$ $。这样，$ ' ( - ) {r}'$就表示面元在${r}'$上的投影面积。因此，由立体角的定义可得$$ = \[ 这样，上式可写为 \] = - $$ 其中，$\omega$表示载流回路$L'$移动产生的带状面对点P 所张成的立体角。

现假设以$L'$为边界做一曲面$S'$，$S'$对点P 也张有一定的立体角$\varOmega$。显然，当$L'$平移时，$\varOmega$随之改变。假设平移前后的曲面分别为$S_{1}'$和$S_{2}'$，那么此时$S_{1}'$、$S_{2}'$和带状面能够组成闭合曲面。由第一章中立体角相关知识可得，此时有 \[ \varOmega_{1} + \varOmega_{2} + \omega = 0 \] 这一结论的前提是，闭合曲面的法向量指向外侧。不难想象，此时$\varOmega_{1}$与$\varOmega_{2}$是异号的。带入上式，我们有 \[ \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \dfrac{\mu_{0}I}{4\pi} \left( \varOmega_{1} + \varOmega_{2} \right) \] 同时，由于 \[ \varOmega_{2} = - \varOmega_{1} + \mathrm{d} \boldsymbol{l} \cdot \nabla \varOmega \] 这样 \[ \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \dfrac{\mu_{0}I}{4\pi} \mathrm{d} \boldsymbol{l} \cdot \nabla \varOmega = \dfrac{\mu_{0}I}{4\pi} \mathrm{d} \varOmega \] 即 \[\begin{equation} \boldsymbol{B} = \dfrac{\mu_{0}I}{4\pi} \nabla \varOmega \end{equation}\]

由上面的推导可得，此时$\boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$与$\mathrm{d} \varOmega$成正比。因此，对于场点P 恒在外部的情况下，载流回路相对P 移动一周后$\Delta \varOmega = 0$，这样就有 \[ \oint_{L} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = 0 \] 如果P 在内部的话，此时$\Delta \varOmega = 4\pi$，那么由上式可得 \[ \oint_{L} \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \mu_{0}I \]

在上面的讨论中，场点没有移动。但由于场点和载流回路的移动是相对的，因此不难想象上面的第一种情景对应的是Ampere回路中没有电流，而第二种情景对应的是Ampere回路中有电流。

磁场对于载流导线的作用

Ampere力

在前文中我们详细讨论了Boit-Savart定律，下面我们来接着讨论Ampere定律。将Ampere定律可用矢量表示为 \[\begin{equation} \mathrm{d} \boldsymbol{F} = I \mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B} \end{equation}\] 上式既是电流元在外磁场中受力的基本规律，又是定义磁感应强度的依据。这种由于磁场而产生的力被称为Ampere力。

平行无限长直导线之间的相互作用

假设两无限长直导线之间的垂直距离为$a$，其上电流分别为$I_{1}$和$I_{2}$。由Biot-Savart定律可得，导线1在导线2处产生的磁感应强度大小为 \[ B_{1} = \dfrac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi a} \] 由上式可得，对于导线2的一段$\mathrm{d} l_{2}$，其受力大小为 \[ \mathrm{d} F_{12} = I_{2} B_{1} \mathrm{d} l_{2} \] 同理可得，导线2产生的磁场作用在导线1上一段$\mathrm{d} l_{1}$时，其受力大小为 \[ \mathrm{d} F_{21} = I_{1} B_{2} \mathrm{d} l_{1} \] 因此，单位长度上导线的作用力大小为 \[\begin{equation} f = \dfrac{\mathrm{d} F_{12}}{\mathrm{d} l_{2}} = \dfrac{\mathrm{d} F_{21}}{\mathrm{d} l_{1}} = \dfrac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi a} \end{equation}\]

矩形载流线圈在均匀磁场中所受的力矩

为了方便描述载流线圈的去向，下面我们用右旋单位法线矢量$\boldsymbol{e}_{n}$来描述载流线圈在空间中的去向。所谓右旋单位法线矢量$\boldsymbol{e}_{n}$，是指当载流线圈电流方向可以用右手四指弯曲表示时，矢量$\boldsymbol{e}_{n}$的方向为此时右手拇指方向。

我们首先考虑矩形线圈的情况。如图所示，由Ampere定律可得 \[ F_{AB} = IaB\sin \left( \dfrac{\pi}{2} + \theta \right) = IaB\sin \left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = F_{CD} \] 由于这两个力作用在一条直线上，因此这一对力不产生任何效果。对于$AD$和$BC$边而言，其受力大小为 \[ F_{AD} = F_{BC} = IbB \] 其方向为同时与磁感应强度和导线垂直。

因此，这两个力并没有未作用在同一条直线上，因此产生了力偶矩。显然，力偶矩$L$的大小为 \[ L = 2IbB \cdot \dfrac{a}{2} \sin \theta = IBS \sin \theta \] 考虑到方向问题，力偶矩可以用下面的矢量形式表示 \[\begin{equation} \boldsymbol{L} = IS\left( \boldsymbol{e}_{n} \times \boldsymbol{B} \right) \end{equation}\]

载流线圈的磁矩

上式虽然是从特例中推导出的，但其实适用于任意形状的平面线圈。下面我们证明这个结论。

我们先说明线圈与磁感应强度平行的情况。如图所示，我们用垂直于转轴的平行线将线圈分割为许多小窄条。由Ampere定律有，磁场对同一组电流元$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1}$、$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2}$的作用力为 \[ \mathrm{d} F_{i} = IB\mathrm{d} l_{i} \sin \theta_{i} \quad \left( i = 1, 2\right) \] 我们假设分割出$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{1}$、$\mathrm{d} \boldsymbol{l}_{2}$的窄条的高度为$\mathrm{d} h$，那么此时显然有$ l_{i} {i} = h $，因此$$ F{i} = IB h $$

这表明，二者大小相同。同时根据矢量叉乘的规定，这两个力的方向相反。由于这两个力并不作用在同一直线上，因此产生了力矩 \[ \mathrm{d} L = IB\left( x_{1} + x_{2}\right) \mathrm{d} h = IB\mathrm{d} S \] 其中，$\mathrm{d} S$ 为小窄条与线圈围成的区域面积。这样，作用在线圈上的力矩大小等于 \[ L = IBS \]

当线圈与磁场成任意角度时，不难证明此时力矩$\boldsymbol{L}$满足 \[\begin{equation} \boldsymbol{L} = IS\left( \boldsymbol{e}_{n} \times \boldsymbol{B} \right) \end{equation}\] 其中，$IS\boldsymbol{e}_{n}$是描述一个任意形状的载流平面线圈本身性质的矢量，我们称其为线圈的磁矩，用$\boldsymbol{m}$表示，即 \[\begin{equation} \boldsymbol{m} = IS\boldsymbol{e}_{n} \end{equation}\] 这样上式用磁矩$\boldsymbol{m}$即可表示为 \[\begin{equation} \boldsymbol{L} = \boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B} \end{equation}\]

带电粒子在磁场中的运动

Lorentz力

实验证明，运动的带电粒子在磁场中受力$\boldsymbol{F}$与粒子的电荷$q$、粒子的速度$\boldsymbol{v}$与磁感应强度$\boldsymbol{B}$之间的关系为 \[\begin{equation} \boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \end{equation}\] 上式给出的运动电荷在磁场中所受力$\boldsymbol{F}$被称为Lorentz力。

Lorentz力与Ampere力的关系

比较$\boldsymbol{F}_{L} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$与$\mathrm{d} \boldsymbol{F}_{A} = I \mathrm{d} \boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$可以发现二者具有极高的相似性。这并不偶然，因为运动电荷可以视为一个瞬时的电流元。下面证明导线所受Ampere力就是作用在各自由电子上Lorentz力的宏观表现。

如图所示，考虑一段长度为$\Delta l$的金属导线，导线通入电流$I$。从微观角度来看，电流是由道题中自由电子向下做定向运动形成的。假设自由电子的定向运动速度为$\boldsymbol{u}$，导体的自由电子数密度为$n$。那么，在时间$\Delta t$内，通过导体截面积$S$的电荷量为 \[ \Delta q = enuS\Delta t \] 因此电流强度I 可表示为 \[\begin{equation} I = \dfrac{\Delta q}{\Delta t} = enSu \end{equation}\]

由于此处电子的定向速度$\boldsymbol{u}$与磁感应强度垂直，因此每个电子由于定向运动所受Lorentz力大小为 \[ F_{L} = euB \] 虽然这个力是作用在电子上的，但是由于电子并不会冲出导线，因此宏观上这个力是作用在金属导线上的。对于长度为$\Delta l$的导线而言，其所受到的力大小为 \[ F = nS\Delta l \cdot euB = BI\Delta l \]

带电粒子在均匀磁场中的运动

粒子的初速$\boldsymbol{v

由于此时粒子的初速$\boldsymbol{v}$、磁感应强度与Lorentz力之间互相垂直，因此不难想到，此时带电粒子将一直做圆周运动。因此有 \[ m\dfrac{v^{2}}{R} = qvB \] 由此可得圆周半径$R$为 \[ R = \dfrac{mv}{qB} \] 这样，粒子运动周期为 \[ T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi m}{qB} \] 由此可得粒子在磁场中的回旋频率为 \[ f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{qB}{2\pi m} \]

普遍情况

在普遍的情况下，粒子的初速$\boldsymbol{v}$与磁感应强度之间成任意角度$\theta$，这时可以将速度分解为垂直方向$\boldsymbol{v}_{\mathrm{v}}$和与磁感应强度平行方向$\boldsymbol{v}_{\mathrm{h}}$。显然，只有垂直方向会产生Lorentz力。因此，带电粒子此时的运动应当为圆周运动与匀速直线运动的叠加，即螺旋线运动。

此时带电粒子的螺距$h$为 \[\begin{equation} h = v_{h}T = \dfrac{2\pi mv_{h}}{qB} \end{equation}\]

在粒子与磁感应强度夹角很小时，有 \[ v_{h} \approx v \quad v_{v} \approx v\theta \] 这样，即使粒子的入射角度各不相同，但其螺距$h = \dfrac{2\pi mv_{h}}{qB}$却近似相同。这意味着，这些粒子在经过相同距离后会在同一点汇聚。由于这种现象与光学中的聚焦现象较为相似，因此被称为磁聚焦现象。

Hall效应

如图，将一个导体板放在垂直于它的磁场中，当有电流通过它时，在导电板的两侧会产生一个电势差$U_{AA'}$，这种现象被称为Hall效应。实验表明，在磁场不太强时，电势差$U_{AA'}$可表示为 \[ U_{AA'} = K\dfrac{IB}{d} \] 其中，比例系数$K$被称为Hall系数。

Hall效应可以用Lorentz力来说明。假设导电板内部载流子的平均定向速率为u，那么其在磁场中所受Lorentz力大小为 \[ F_{L} = quB \] 此时Lorentz力的方向为向上或向下（与载流子电性有关）。这样导体板上下就会产生电势差。当电势差形成后，载流子还会受到电场力$q\dfrac{U_{AA'}}{b}$。这样，在达到恒定状态后，Lorentz力与电场力平衡。 \[ q\dfrac{U_{AA'}}{b} = quB \] 结合 \[ I = nqSu = nqbdu \] 可得 \[ U_{AA'} = \dfrac{1}{nq} \dfrac{IB}{d} \] 这样，Hall系数就可以表示为 \[\begin{equation} K = \dfrac{1}{nq} \end{equation}\] 上式说明，Hall系数是反映导体内载流子浓度$n$的指标。这为研究不同导体内载流子浓度$n$提供了很重要的参考方式。

电磁场的相对论变换*

待补充