交流电

交流电概述

在电路中，如果电源的电动势\(e(t)\)随时间周期性变化，那么各段电路中电压\(u(t)\)和电流\(i(t)\)都将随时间做周期性变化，这种电路被称为交流电路。

各种形式的交流电

如果电源的电动势\(e(t)\)为正弦函数或余弦函数，那么我们将这种交流电称为简谐交流电。由于

（1）任何非简谐交流电都可分解为一系列不同频率的简谐成分叠加（也就是Fourier变换）

（2）不同频率的简谐成分在线性电路中彼此独立，互不干扰。\ 因此对简谐交流电的研究是一切交流电问题的基础。下面我们来研究简谐交流电。

描述简谐交流电的特征量

和机械简谐振动相同，与简谐交流电有关的变量可写为正弦或余弦函数的形式，下面我们用余弦函数的形式表达：

\[ \left \{ \begin{aligned} & \mbox{交变电动势}\ e(t) = \mathscr{E}_{0} \cos\left( \omega t + \varphi_{e} \right) \\ & \mbox{交变电压}\ u(t) = U_{0} \cos\left( \omega t + \varphi_{u} \right) \\ & \mbox{交变电流}\ i(t) = I_{0} \cos\left( \omega t + \varphi_{i} \right) \\ \end{aligned} \right. \]

不难看出，描述上面的量需要三个特征量：频率、峰值与相位。下面分别讨论这三个量

频率

频率\(f\)与角频率\(\omega\)之间的关系为 \[\begin{equation} f = \dfrac{\omega}{2\pi} \end{equation}\]

峰值和有效值

显然，简谐交流电的电动势、电压与电流的峰值分别为\(\mathscr{E}_{0}\)、\(U_{0}\)和\(I_{0}\)。它们代表了瞬时值随时间变化的幅度。

除此以外，我们还将定义如果交流电通过某电阻时，产生的Joule热与某直流电相同，那么我们称此直流电对应的数值为交流电的有效值。后面将证明，简谐交流电的有效值为峰值的\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)。平时所说的“220V电压”，指的是电压有效值为220V，其峰值约为311V。

相位

式中的$t+ {x}( x = e, u, i ) \(被称为相位，其中\){x} ( x = e, u, i ) $被称为初相位

交流电路中的元件

概述

交流电路比直流电路复杂的原因为

（1）除电源外，在直流电路中只有电阻一种元件，而在交流电路中有电阻、电容和电感三种元件。这三种元件的性能又有明显差别，如电容和电感处处表现出相反的性质，而电阻介于二者之间。

（2）在交流电路中，电压、电流之间关系变得更加复杂，不仅有量值大小的关系，还有相位关系。因此，在交流电路表示某元件上电压与电流关系时，需要两个量。一个是二者峰值之比，我们将其称为元件的阻抗，用\(Z\)表示 \[\begin{equation} Z = \dfrac{U_{0}}{I_{0}} = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{I_{\mathrm{eff}}} \end{equation}\] 另一个是电压与电流相位之差\(\varphi\) \[\begin{equation} \varphi = \varphi_{u} - \varphi_{i} \end{equation}\]

交流电路中的电阻元件

Ohms定律仍然适用于交流电路中的电阻元件，即瞬时电压与瞬时电流之间仍然是一个简单的比例关系。假设 \[ u(t) = U_{0} \cos \omega t \] 那么 \[ i(t) = \dfrac{u(t)}{R} = I_{0}\cos \omega t \] 由此可见，对于电阻，其交流阻抗\(Z_{R}\)就是它的电阻R ，同时电压与电流相位一致即 \[\begin{equation} Z_{R} = R,\quad \varphi = 0 \end{equation}\]

交流电路中的电容元件

我们知道，恒定的直流电不能通过电容器。同时，实验表明在电压一定的条件下，交流电频率越高，其越容易“通过”电容。下面我们推导电容器上电压与电流的关系。

首先讨论电路中电流\(i(t)\)与电容器极板上电荷量\(q(t)\)的关系。当电流为\(i(t)\)时，在时间间隔\(\mathrm{d} t\)内极板上电荷量增加\(\mathrm{d} q\)，这样就有 \[\begin{equation} i(t) = \dfrac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} \end{equation}\]

假设电荷量\(q(t)\)、电流\(i(t)\)与电压\(u(t)\)均为时间的余弦函数，并假定\(q(t)\)的初相位为0，那么有

\[ \left \{ \begin{aligned} & q(t) = Q_{0}\cos \omega t \\ & i(t) = I_{0}\cos \left( \omega t + \varphi_{i} \right) \\ & u(t) = U_{0}\cos \left( \omega t + \varphi_{u} \right) \\ \end{aligned} \right. \] 对电荷量\(q(t)\)的表达式求导可得 \[ i(t) = \dfrac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} = -\omega Q_{0}\sin \omega t = \omega Q_{0}\cos \left( \omega t + \dfrac{\pi}{2} \right) \] 而由于电容器上电压\(u(t)\)与电荷量\(q(t)\)成正比，因此有 \[ u(t) = \dfrac{Q_{0}}{C} \cos \omega t \] 由此不难得到 \[\begin{equation} Z_{C} = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi fC} \quad \quad \varphi = -\dfrac{\pi}{2} \end{equation}\] 这说明，对于电容来说：

（1）容抗与频率成反比，频率越高，容抗越小。这使得电容有“通高频，阻低频”的特点。

（2）电容上电压的相位落后电流的相位\(\dfrac{\pi}{2}\)

需要注意的是，交流电并没有通过电容器内部，而是在交变电动势\(e(t)\)的作用下不停充放电。在外部观察电容器，只要一端有电流流入，而另一端有电流流出，那么电流的连续性就似乎仍然保持。

交流电路的电感元件

下面我们推导电感元件中电压\(u(t)\)与电流\(i(t)\)之间的关系。当有交变电流通过电感时，线圈内部会产生自感电动势 \[ e_{L} = -L\dfrac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} \] 这表明，电动势的“方向”与电流是相反的。我们通常所指的电压，实际上为“电势降落”。这样，如果我们选择回路的绕行方向与电流的方向一致，那么在电感元件上的电势降落满足 \[\begin{equation} u = -e_{L} = L\dfrac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} \end{equation}\] 假设通过电容的电流\(i(t)\)与电容两端电压\(u(t)\)均为时间的余弦函数，并选择\(i(t)\)的初相位\(\varphi_{i} = 0\)，那么有 \[ \left \{ \begin{aligned} & i(t) = I_{0}\cos \omega t \\ & u(t) = U_{0}\cos \left( \omega t + \varphi_{u} \right) \\ \end{aligned} \right. \] 由电压\(u(t)\)与电流\(i(t)\)之间关系可得 \[ u(t) = L\dfrac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} = \omega LI_{0}\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi}{2} \right) \] 由此可得 \[\begin{equation} Z_{L} = \omega L = 2\pi Lf \quad \varphi = \dfrac{\pi}{2} \end{equation}\] 这说明，对于电感来说：

（1）阻抗与频率成正比，频率越高，阻抗越大。这使得电感有“通低频，阻高频”的特点。

（2）电容上电压的相位超过电流的相位\(\dfrac{\pi}{2}\)

总结

在交流电路中，与Ohms定律类似，电压、电流的峰值（或有效值）之间仍然满足简单的比例关系。但是，由于相位差的存在，电压、电流的瞬时值之间一般并不具有简单的比例关系。

元件的串联和并联（矢量图解法）

用矢量图解法计算串、并联电路

上图为两个元件的串、并联电路。和直流电路中电阻的串、并联一样，交流电压、电流在任何时刻均满足：

（1）串联电路中，有 \[\begin{equation} u(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n} u_{j}(t)\quad i(t) = i_{1}(t) = i_{2}(t) = ... \end{equation}\]

（2）并联电路中，有 \[\begin{equation} i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n} i_{j}(t)\quad u(t) = u_{1}(t) = u_{2}(t) = ... \end{equation}\]

如果我们用交流电压表与交流电流表分别测量串、并联电路中的总电压\(U\)、总电流I 和各元件上的分电压\(U_{j}\)、分电流\(I_{j}\)，会发现对于串联电路，一般有 \[ U \neq \sum\limits_{j = 1}^{n} U_{j}(t) \] 而对于并联电路，有 \[ I \neq \sum\limits_{j = 1}^{n} I_{j}(t) \]

之所以会出现这种情况，是因为假如元件的电压\(U_{j}\)（或电流\(I_{j}\)）之间有相位差，那么合成的总电压U （或电流I ）的峰值就不会等于各元件峰值之和。由于有效值正比于峰值，因此有效值也就失去了加和性。

用矢量图解法计算同频简谐量的叠加

如前文所述，在解决交流电路的串、并联问题时，我们总是遇到同频简谐量（如交流电压或电源）的叠加问题。这类问题可表述如下：

假设有两个同频简谐量 \[ a_{1}(t) = A_{1}\cos \left( \omega t + \varphi_{1} \right) , \quad a_{2}(t) = A_{2}\cos \left( \omega t + \varphi_{2} \right) \] 求 \[ a(t) = a_{1} + a_{2} \]

我们将在本章末尾证明，\(a(t)\)也是一个具有同一频率的简谐量，这样我们可将\(a(t)\)表示为 \[ a(t) = A \cos \left( \omega t + \varphi \right) \]

矢量图解法求\(A\)和\(\varphi\)的步骤如下： （1）在极坐标系中做两矢量\(\boldsymbol{A}_{1}\)和\(\boldsymbol{A}_{2}\)，其长度分别为\(A_{1}\)和\(A_{2}\)，而辐角分别为\(\varphi_{1}\)和\(\varphi_{2}\)。

（2）用矢量加法求出矢量 \[ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}_{1} + \boldsymbol{A}_{2} \] 此时\(\boldsymbol{A}\)的长度为\(A\)，而辐角为\(\varphi\)

串联电路

\(RC\)串联

在串联电路中，通过各元件的电流\(i(t)\)是相同的，因此我们用水平矢量\(\boldsymbol{I}\)代表它。由于电阻元件上\(u_{R}(t)\)与\(i_{R}(t)\)相位一致，而电容元件上\(u_{C}(t)\)比\(i_{C}(t)\)相位落后\(\dfrac{\pi}{2}\)，因此可以做出如下图所示的矢量图。

不难看出，总电压峰值为 \[\begin{equation} U = \sqrt{U_{R}^{2} + U_{C}^{2}} \end{equation}\] 由于交变电压的有效值与峰值成正比，因此总电压有效值\(U_{\mathrm{eff}}\)满足 \[\begin{equation} U_{\mathrm{eff}} = \sqrt{U_{R,\mathrm{eff}}^{2} + U_{C,\mathrm{eff}}^{2}} \end{equation}\] 相位差为 \[\begin{equation} \varphi = -\arctan \dfrac{U_{C}}{U_{R}} \end{equation}\]

在上一节中，我们知道了电阻与电容的阻抗分别为 \[ Z_{R} = R,\quad Z_{C} = \dfrac{1}{\omega C} \] 假设此时电流\(i(t)\)的有效值为\(I_{\mathrm{eff}}\)，则 \[\begin{equation} U_{R,\mathrm{eff}} = I_{\mathrm{eff}}Z_{R} = I_{\mathrm{eff}}R,\quad U_{C,\mathrm{eff}} = I_{\mathrm{eff}}Z_{C} = \dfrac{I_{\mathrm{eff}}}{\omega C} \end{equation}\] 故电阻上电压有效值与电容上电压有效值之比为 \[\begin{equation} \dfrac{U_{C,\mathrm{eff}}}{U_{R,\mathrm{eff}}} = \dfrac{1}{\omega C R} \end{equation}\] 带入可得总电压有效值为 \[\begin{equation} U_{\mathrm{eff}} =I_{\mathrm{eff}} \sqrt{R^{2} + \left( \dfrac{1}{\omega C} \right) ^{2}} \end{equation}\] 而相位差为 \[\begin{equation} \varphi = -\arctan \dfrac{1}{\omega CR} \end{equation}\] 同时还可求得\(RC\)串联电路的总阻抗为 \[\begin{equation} Z = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{I_{\mathrm{eff}}} = \sqrt{R^{2} + \left( \dfrac{1}{\omega C}\right) ^{2}} \end{equation}\]

这表明，总电压有效值\(U_{\mathrm{eff}}\)不等于分电压有效值\(U_{R,\mathrm{eff}}\)、\(U_{C,\mathrm{eff}}\)之和。同时，分电压有效值之比等于元件阻抗之比，这与直流串联电路的分压规律一致。

\(RL\)串联

在串联电路中，通过各元件的电流\(i(t)\)是相同的。由于电阻元件上\(u_{R}(t)\)与\(i_{R}(t)\)相位一致，而电感元件上\(u_{C}(t)\)比\(i_{C}(t)\)相位提前\(\dfrac{\pi}{2}\)，因此

总电压峰值为 \[\begin{equation} U = \sqrt{U_{R}^{2} + U_{L}^{2}} \end{equation}\] 由于交变电压的有效值与峰值成正比，因此总电压有效值\(U_{\mathrm{eff}}\)满足 \[\begin{equation} U_{\mathrm{eff}} = \sqrt{U_{R,\mathrm{eff}}^{2} + U_{L,\mathrm{eff}}^{2}} \end{equation}\] 相位差为 \[\begin{equation} \varphi = \arctan \dfrac{U_{L}}{U_{R}} \end{equation}\]

在上一节中，我们知道了电阻与电感的阻抗分别为 \[ Z_{R} = R,\quad Z_{L} = \omega L \] 假设此时电流\(i(t)\)的有效值为\(I_{\mathrm{eff}}\)，则 \[\begin{equation} U_{R,\mathrm{eff}} = I_{\mathrm{eff}}Z_{R} = I_{\mathrm{eff}}R,\quad U_{L,\mathrm{eff}} = I_{\mathrm{eff}}Z_{L} = I_{\mathrm{eff}}\omega L \end{equation}\] 故电阻上电压有效值与电感上电压有效值之比为 \[\begin{equation} \dfrac{U_{L,\mathrm{eff}}}{U_{R,\mathrm{eff}}} = \dfrac{\omega L}{R} \end{equation}\] 带入可得总电压有效值为 \[\begin{equation} U_{\mathrm{eff}} =I_{\mathrm{eff}} \sqrt{R^{2} + \left( \omega L \right) ^{2}} \end{equation}\] 而相位差为 \[\begin{equation} \varphi = \arctan \dfrac{\omega L}{R} \end{equation}\] 同时还可求得\(RC\)串联电路的总阻抗为 \[\begin{equation} Z = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{I_{\mathrm{eff}}} = \sqrt{R^{2} + \left( \omega L \right) ^{2}} \end{equation}\]

并联电路

\(RC\)并联

在并联电路中，各元件两端的电压\(u(t)\)是相同的，因此我们用水平矢量\(\boldsymbol{U}\)代表它。由于电阻元件上\(u_{R}(t)\)与\(i_{R}(t)\)相位一致，而电容元件上\(u_{C}(t)\)比\(i_{C}(t)\)相位落后\(\dfrac{\pi}{2}\)，因此可以做出如下图所示的矢量图。

不难看出，总电流峰值为 \[\begin{equation} I = \sqrt{I_{R}^{2} + I_{C}^{2}} \end{equation}\] 由于交变电压的有效值与峰值成正比，因此总电流有效值\(I_{\mathrm{eff}}\)满足 \[\begin{equation} I_{\mathrm{eff}} = \sqrt{I_{R,\mathrm{eff}}^{2} + I_{C,\mathrm{eff}}^{2}} \end{equation}\] 相位差为 \[\begin{equation} \varphi = -\arctan \dfrac{I_{C}}{I_{R}} \end{equation}\]

我们知道，电阻与电容的阻抗分别为 \[ Z_{R} = R,\quad Z_{C} = \dfrac{1}{\omega C} \] 假设此时电压\(u(t)\)的有效值为\(U_{\mathrm{eff}}\)，则 \[\begin{equation} I_{R,\mathrm{eff}} = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{Z_{R}} = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{R},\quad I_{C,\mathrm{eff}} = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{Z_{C}} = \omega CU_{\mathrm{eff}} \end{equation}\] 故通过电阻的电流有效值与通过电容的电流有效值之比为 \[\begin{equation} \dfrac{I_{C,\mathrm{eff}}}{I_{R,\mathrm{eff}}} = \omega CR \end{equation}\] 带入可得总电流有效值为 \[\begin{equation} I_{\mathrm{eff}} =U_{\mathrm{eff}} \sqrt{\dfrac{1}{R^{2}} + \left( \omega C \right) ^{2}} \end{equation}\] 而相位差为 \[\begin{equation} \varphi = -\arctan \omega CR \end{equation}\] 同时还可求得\(RC\)并联电路的总阻抗为 \[\begin{equation} Z = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{I_{\mathrm{eff}}} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^{2}} + \left( \omega C \right) ^{2}}} \end{equation}\]

这表明，总电流有效值\(I_{\mathrm{eff}}\)不等于分电流有效值\(I_{R,\mathrm{eff}}\)、\(I_{C,\mathrm{eff}}\)之和。同时，分电流有效值与元件阻抗成反比，这与直流并联电路的分压规律一致。

\(RL\)并联

在并联电路中，各元件两端的电压\(u(t)\)相同。由于电阻元件上\(u_{R}(t)\)与\(i_{R}(t)\)相位一致，而电感元件上\(u_{L}(t)\)比\(i_{L}(t)\)相位提前\(\dfrac{\pi}{2}\)，因此

总电流峰值为 \[\begin{equation} I = \sqrt{I_{R}^{2} + I_{L}^{2}} \end{equation}\] 由于交变电压的有效值与峰值成正比，因此总电流有效值\(I_{\mathrm{eff}}\)满足 \[\begin{equation} I_{\mathrm{eff}} = \sqrt{I_{R,\mathrm{eff}}^{2} + I_{L,\mathrm{eff}}^{2}} \end{equation}\] 相位差为 \[\begin{equation} \varphi = \arctan \dfrac{I_{L}}{I_{R}} \end{equation}\]

我们知道，电阻与电感的阻抗分别为 \[ Z_{R} = R,\quad Z_{L} = \omega L \] 假设此时电压\(u(t)\)的有效值为\(U_{\mathrm{eff}}\)，则 \[\begin{equation} I_{R,\mathrm{eff}} = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{Z_{R}} = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{R},\quad I_{L,\mathrm{eff}} = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{Z_{L}} = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{\omega L} \end{equation}\] 故通过电阻的电流有效值与通过电容的电流有效值之比为 \[\begin{equation} \dfrac{I_{L,\mathrm{eff}}}{I_{R,\mathrm{eff}}} = \dfrac{R}{\omega L} \end{equation}\] 带入可得总电流有效值为 \[\begin{equation} I_{\mathrm{eff}} =U_{\mathrm{eff}} \sqrt{\dfrac{1}{R^{2}} + \dfrac{1}{\left( \omega L \right) ^{2}}} \end{equation}\] 而相位差为 \[\begin{equation} \varphi = \arctan \dfrac{R}{\omega L} \end{equation}\] 同时还可求得\(RC\)并联电路的总阻抗为 \[\begin{equation} Z = \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{I_{\mathrm{eff}}} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^{2}} + \dfrac{1}{\left( \omega L \right) ^{2}}}} \end{equation}\]

串并联电路的应用（旁路、相移、滤波）*

待补充

交流电路的复数解法

用复数法计算同频简谐量的叠加

对于两个同频简谐量之和，复数法计算步骤如下：

（1）将简谐量按下列法则与复数对应起来 \[ a_{j}(t) = A_{j}\cos \left( \omega t + \varphi_{j} \right) \longleftrightarrow B_{j} = A_{j}e^{\mathrm{i} \left( \omega t + \varphi_{j} \right) } \]

（2）求复数\(B_{1}\)与\(B_{2}\)之和： \[ B = B_{1} + B_{2} = Ae^{\mathrm{i} \left( \omega t + \varphi \right) } \] 其中，\(A\)即为合成简谐量的峰值，而\(B\)的辐角\(\omega t + \varphi\)即为\(a(t)\)的相位。

复电压、复电流和复阻抗的概念

所谓复电压和复电流，即为交变电压与交变电流通过上述法则得到的结果。与交变电压对应的复电压为 \[ \tilde{U} = U_{0}e^{\mathrm{i} \left( \omega t + \varphi_{u} \right) } \] 而与交变电流对应的复电流为 \[ \Tilde{I} = I_{0}e^{\mathrm{i} \left( \omega t + \varphi_{i} \right) } \] 同一段电路上的复电压\(\tilde{U}\)与复电流\(\tilde{I}\)的比值为 \[\begin{equation} \dfrac{\tilde{U}}{\tilde{I}} = Ze^{\mathrm{i} \varphi} \end{equation}\] 也是一个复数，其模为这段电路的阻抗，而辐角为相位差。我们将这个复数称为复阻抗，记为\(\tilde{Z}\)，即 \[\begin{equation} \tilde{Z} = Ze^{\mathrm{i} \varphi} \end{equation}\] 由于上述复数完全概括了这段电路分身的两方面基本性质，也就是阻抗和相位差，因此通过某段电路的复阻抗可完全了解此段电路的性质。此外，将复阻抗带入到式（4.2）之中可得 \[\begin{equation} \tilde{Z} = \dfrac{\tilde{U}}{\tilde{I}} \end{equation}\] 这与直流电路中的Ohms定律有着相同的形式。

结合前面我们对于电阻、电容和电感的分析，不难求出三者的复阻抗。

（1）电阻复阻抗 \[\begin{equation} \tilde{Z}_{R} = R \end{equation}\]

（2）电容复阻抗 \[\begin{equation} \tilde{Z}_{C} = \dfrac{-\mathrm{i} }{\omega C} \end{equation}\]

（3）电感复阻抗 \[\begin{equation} \tilde{Z}_{L} = \mathrm{i} \omega L \end{equation}\]

串、并联电路的复数解法

串联电路

串联电路上总电压的瞬时值等于各段分电压瞬时值之和 \[ u(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n} u_{j}(t) \] 由变换法则可得 \[\begin{equation} \tilde{U} = \sum\limits_{j = 1}^{n} \tilde{U}_{j} \end{equation}\]

假设各段的复阻抗为\(\tilde{Z}_{j}\)，整段的复阻抗为\(\tilde{Z}\)。那么根据复数形式的Ohms定律有 \[ \tilde{U}_{j} = \tilde{I}\tilde{Z}_{j} \quad \tilde{U} = \tilde{I} \tilde{Z} \] 带入上式可得 \[\begin{equation} \tilde{Z} = \sum\limits_{j = 1}^{n} \tilde{Z}_{j} \end{equation}\]

并联电路

并联电路上总电流的瞬时值等于各段分电流瞬时值之和 \[ i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n} i_{j}(t) \] 由变换法则可得 \[\begin{equation} \tilde{I} = \sum\limits_{j = 1}^{n} \tilde{I}_{j} \end{equation}\]

假设各段的复阻抗为\(\tilde{Z}_{j}\)，整段的复阻抗为\(\tilde{Z}\)。那么根据复数形式的Ohms定律有 \[ \tilde{U} = \tilde{I}_{j}\tilde{Z}_{j} \quad \tilde{U} = \tilde{I} \tilde{Z} \] 带入上式可得 \[\begin{equation} \dfrac{1}{\tilde{Z}} = \sum\limits_{j = 1}^{n} \dfrac{1}{\tilde{Z}_{j}} \end{equation}\]

上面两种情况表明，交流电路复阻抗的串、并联公式与直流电路电阻的串、并联公式在形式上完全相同。

复导纳*

待补充

交流电路的Kirchhoff方程组及其复数形式

对于电压、电流的瞬时值来说，交流电路的Kirchhoff方程组和直流电路的Kirchhoff方程组差不多

（1）对于电路的任意一个节点，瞬时电流的代数和为0，即 \[\begin{equation} \sum\limits_{\mbox{流出}}i(t) - \sum\limits_{\mbox{流入}}i(t) = 0 \end{equation}\]

（2）沿任意一个闭合回路，瞬时电压降的代数和为0，即 \[\begin{equation} \sum\limits_{L} u(t) = 0 \end{equation}\]

和直流电路的Kirchhoff定律相同，这里也存在着正负号的问题。现规定如下：

Kirchhoff方程组的正负问题

（1）在每段支路上先给定一标定方向。如果计算结果\(i(t) > 0\)，说明电流方向与标定方向一致，否则说明电流方向与标定方向相反。

（2）对于电容器，将其迎着电流的极板上的电荷标为\(q(t)\)，另一极板上电荷标为\(-q(t)\)。

（3）为每个闭合回路规定一个绕行方向，\(u(t)>0\)表示沿此方向电势下降，反之表示电势上升。

（4）规定每个电源的极性，电动势\(e(t)\)表示电源的极性与标定的一致，反之表示电源的极性与标定的相反。

Kirchhoff方程组的符号问题

（1）在Kirchhoff第一方程组之中，流入某节点的电流前为负号，流出某节点的电流前为正号

（2）Kirchhoff第二方程组之中，若回路的绕行方向与电流的标定方向相同，那么带正号，反之带负号。对电源而言，如果回路的绕行方向与电源的极性一致，那么前面带负号，反之带正号。

对于简谐交流电路，我们可以直接将直流Kirchhoff方程组之中的量替换为对应的复数量，这样就得到了复数形式的Kirchhoff方程组

（1）Kirchhoff第一方程组 \[\begin{equation} \sum\limits_{\mbox{流出}}\tilde{I} - \sum\limits_{\mbox{流入}}\tilde{I} = 0 \end{equation}\]

（2）Kirchhoff第二方程组 \[\begin{equation} \sum\limits_{L} \tilde{U} = 0 \end{equation}\]

等效电源定理和Y-\(\bigtriangleup\)阻抗代换公式*

待补充

有互感的电路计算*

待补充

交流电的功率

瞬时功率与平均功率有效值和功率因数

交流电在某一元件或组合电路中瞬间消耗的功率\(P(t)\)被称为瞬时功率。与直流电路中一样，瞬时功率可表示为 \[ P(t) = u(t)i(t) \] 如果我们将电压\(u(t)\)和电流\(i(t)\)表示为 \[ i(t) = I_{0}\cos \omega t,\quad u(t) = U_{0} \cos \left( \omega t + \varphi \right) \] 则瞬时功率等于 \[ P(t) = U_{0}I_{0}\cos \omega t \cos \left( \omega t + \varphi \right) \] 即 \[\begin{equation} P(t) = \dfrac{1}{2}U_{0}I_{0} \cos \varphi + \dfrac{1}{2} U_{0}I_{0}\cos \left( 2\omega t + \varphi \right) \end{equation}\] 由此可见，瞬时功率包含两部分：与时间无关的常量\(\dfrac{1}{2}U_{0}I_{0} \cos \varphi\)，以及以二倍频率周期性变化的$ U_{0}I_{0}( 2t + ) $

通常来说，我们更倾向于使用在一个周期\(T\)内的平均功率\(\bar{P}\)，即 \[\begin{equation} \bar{P} = \dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}P(t) \mathrm{d} t \end{equation}\] 将瞬时功率\(P(t)\)的表达式带入可得 \[\begin{equation} \bar{P} = \dfrac{1}{2}U_{0}I_{0} \cos \varphi \end{equation}\]

各元件的平均功率

对于电阻、电容和电感元件而言，其平均功率分别为

（1）电阻元件：\(\varphi = 0\) \[\begin{equation} \bar{P} = \dfrac{1}{2}U_{0}I_{0} \end{equation}\] 注意，这里之所以Joule定律不同（有系数\(\dfrac{1}{2}\)），是因为在简谐交流电路中瞬时功率\(P(t)\)时大时小，因此平均起来会有系数\(\dfrac{1}{2}\)。此时，交变电压与交变电流与\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}U_{0}\)、\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}I_{0}\)的直流电效果相当，这就是我们前面所说的“有效值”。

如果将电阻的平均功率用有效值表示，那么 \[\begin{equation} \bar{P} = U_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff}} \end{equation}\]

（2）电容元件：\(\varphi = -\dfrac{\pi}{2}\) \[\begin{equation} \bar{P} = 0 \end{equation}\]

（3）电感元件：\(\varphi = \dfrac{\pi}{2}\) \[\begin{equation} \bar{P} = 0 \end{equation}\]

电容与电感的\(\bar{P} = 0\)表示，在纯电容或纯电感元件中，能量的转化过程是完全可逆的。

普遍情况

对于任意一个与外界有两个连接点的电流（二端网络），其两端的相位差满足 \[ \varphi \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] \] 这样，平均功率就表示为 \[\begin{equation} \bar{P} = U_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff}}\cos \varphi \end{equation}\] 此时，我们将\(\cos \varphi\)称为二端网络的功率因数。

有功电流与无功电流提高功率因数的第一个作用

当一个用电器的电流和电压之间有相位差\(\varphi\)时，我们可以做出如下的矢量图。将矢量\(\boldsymbol{I}\)分解为平行于电压矢量\(\boldsymbol{U}\)的\(\boldsymbol{I}_{\mathrm{p}}\)和与其垂直的\(\boldsymbol{I}_{\mathrm{v}}\)。显然，这两个向量的模分别为 \[\begin{equation} I_{\mathrm{p}} = I\cos \varphi,\quad I_{\mathrm{v}} = I \sin \varphi \end{equation}\]

这就意味着，简谐电流\(i(t)\)可以看做是以上两个电流的叠加。这样一来，电路的平均功率可写为 \[ \bar{P} = U_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff,p}} \] 也就是说，只有与电压相位差为0的分量\(\boldsymbol{I}_{\mathrm{p}}\)对于平均功率有贡献。因此，我们将\(\boldsymbol{I}_{\mathrm{p}}\)称为有功电流，而\(\boldsymbol{I}_{\mathrm{v}}\)被称为无功电流。

由于输电导线产生的Joule热与总电流\(I\)的平方成正比，因此为了尽可能减小损耗，需要增大功率因数\(\cos \varphi\)。我们可以通过使用电感与电容来改变某些支路的相位差，从而增大功率因数\(\cos \varphi\)。

视在功率与无功功率提高功率因数的第二个作用

电器设备的视在功率（或称为表观功率）\(S\)被定义为 \[\begin{equation} S = U_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff}} \end{equation}\] 这样，电气设备的实际功率可表示为 \[\begin{equation} \bar{P} = S \cos \varphi \end{equation}\] 由此不难看出，提高功率因数有助于充分发挥现有电器设备的潜能。

此外，我们将无功功率定义为 \[\begin{equation} P_{\mathrm{rea}} = U_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff,v}} \end{equation}\]

有功功率\(P_{\mathrm{act}}\)、无功功率\(P_{\mathrm{rea}}\)和表观功率\(S\)的关系可用的“功率三角形”表示。

有功电阻和电抗

对于一个电路的复阻抗 \[ \tilde{Z} = r + \mathrm{i} x \] 其实部\(r\)被称为有功电阻，而虚部\(x\)被称为电抗。例如，对于\(RC\)串联电路而言，其复阻抗为 \[ \tilde{Z} = R - \dfrac{\mathrm{i} }{\omega C} \] 其有功电阻\(r\)和电抗\(x\)分别为 \[ r = R,\quad x = -\dfrac{1}{\omega C} \]

\(RL\)串联电路的复阻抗为 \[ \tilde{Z} = R + \mathrm{i} \omega L \] 其有功电阻\(r\)和电抗\(x\)分别为 \[ r = R,\quad x = \omega L \]

可以看出，电容性电路的电抗\(x < 0\)，而电感性电路的电抗\(x > 0\)。一般来说，对于复杂电路而言，负的电抗叫做容抗，而正的电抗叫做感抗。

下面讨论将复阻抗分成两部分的物理意义。因为 \[ \Tilde{Z} = Ze^{\mathrm{i} \varphi} = Z \cos \varphi + \mathrm{i} Z \sin \varphi \] 所以 \[ r = Z\cos \varphi,\quad x = Z\sin \varphi \] 因此，有功功率可表示为 \[\begin{equation} P_{\mathrm{act}} = I^{2}r \end{equation}\] 同时，无功功率可表示为 \[\begin{equation} P_{\mathrm{rea}} = I^{2}x \end{equation}\]

电导与电纳*

待补充

品质因数（\(Q\)值）、损耗角（\(\delta\)）和耗散因数（\(\tan \delta\)）

在无线电电子技术中，电抗元件（如电容、电感等）的应用之一是组成谐振电路。在谐振电路中，我们利用的是电抗元件储放能量的作用。因此，此时我们希望能量耗散越少越好，即无功功率越大越好。因此我们引入如下的一些量来标志电抗元件或电路的品质好坏，以及损耗的大小。

品质因数（\(Q\)值）

一个电抗元件的品质因数（简称为Q 值）的定义为 \[\begin{equation} Q = \dfrac{P_{\mathrm{rea}}}{P_{\mathrm{act}}} \end{equation}\] 因此不难得到 \[\begin{equation} Q = \dfrac{x}{r} \end{equation}\] 由Q 值的定义不难看出，Q 值越高，损耗越小。

损耗角（\(\delta\)）和耗散因数（\(\tan \delta\)）

我们将相位角的余角定义为损耗角\(\delta\)，即 \[\begin{equation} \delta = \dfrac{\pi}{2} - \varphi \end{equation}\] 结合功率三角形，不难看出 \[\begin{equation} \tan \delta = \dfrac{P_{\mathrm{act}}}{P_{\mathrm{rea}}} = \dfrac{r}{x} \end{equation}\] 其中，\(\tan \delta\)被称为耗散因数。由此可以看出 \[\begin{equation} \tan \delta = \dfrac{1}{Q} \end{equation}\]