Maxwell电磁理论与电磁波
Maxwell电磁理论
位移电流
到Maxwell的时代，关于电磁场的基本规律可概括如下
（1）电场的Gauss定理 \[ \iint_{S}\boldsymbol{D} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = q_{0} \]
（2）静电场的环路定理 \[ \oint_{L} \boldsymbol{E} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = 0 \]
（3）磁场的“Gauss定理” \[ \iint_{S} \boldsymbol{B} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = 0 \]
（4）Ampere环路定理 \[ \oint_{L} \boldsymbol{H} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = I_{0} \]
（5）Faraday电磁感应定律 \[ \mathscr{E} = -\dfrac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} t} \]
下面我们来讨论这样一个问题：已知在恒定条件下，无论载流回路周围是真空还是有磁介质，Ampere环路定理均可写为 \[ \oint_{L} \boldsymbol{H} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \iint_{S} \boldsymbol{j}_{0} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = I_{0} \] 其中，\(I_{0}\)是穿过以闭合回路\(L\)为边界的任意曲面\(S\)的传导电流。那么，在非恒定条件下，Ampere环路定理是否成立。
如果在非恒定条件下，Ampere环路定理仍然成立，那么对于以\(L\)为边界的任意闭合曲面\(S\)，通过曲面的传导电流都应当相同。也就是说，如果此时我们任意取出两个不同的曲面\(S_{1}\)和\(S_{2}\)，那么应当有 \[ \iint_{S_{1}}\boldsymbol{j}_{0} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = \iint_{S_{2}} \boldsymbol{j} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 即 \[ \iint_{S} \boldsymbol{j} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = 0 \] 其中，\(S\)是由\(S_{1}\)与\(S_{2}\)组成的闭合曲面。
在非恒定情况下，上式是不成立的。比如电容器的充放电电路，在非恒定情况下，导线中的电流是随着时间而变化的。如果我们取\(S_{1}\)与导线相交，而\(S_{2}\)穿过电容器两极板之间，那么显然有 \[ \iint_{S_{1}}\boldsymbol{j}_{0} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \neq 0,\quad \iint_{S_{2}} \boldsymbol{j} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = 0 \] 这样就有 \[ \iint_{S} \boldsymbol{j} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \neq 0 \]
非恒定情况下Ampere环路定理遇到的矛盾
其实在上面的讨论中，不仅暴露了矛盾，而且提供了解决问题的线索。在非恒定条件下，有电流的连续原理有 \[ \iint_{S} \boldsymbol{j}_{0} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = -\dfrac{\mathrm{d} q_{0}}{\mathrm{d} t} \] 其中，\(q_{0}\)是积累在\(S\)面的自由电荷。另一方面，按照Gauss定理 \[ \iint_{S} \boldsymbol{D} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = q_{0} \] 从而可以得到 \[ \dfrac{\mathrm{d} q_{0}}{\mathrm{d} t} = \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \iint_{S} \boldsymbol{D} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 即 \[ \dfrac{\mathrm{d} q_{0}}{\mathrm{d} t} = \iint_{S} \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 这样就能得到 \[ \iint_{S} \left( \boldsymbol{j}_{0} + \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial \boldsymbol{t}} \right) $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = 0 \] 这说明，只要边界\(L\)相同，那么\(\boldsymbol{j}_{0} + \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial \boldsymbol{t}}\)这个量是永远连续的，其在以\(L\)为边界的任何曲面上的积分均为定值。
设通过某一曲面的电位移通量为 \[ \varPhi_{D} = \iint_{S} \boldsymbol{D} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 那么有 \[ \dfrac{\mathrm{d} \varPhi_{D}}{\mathrm{d} t} = \iint_{S} \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] Maxwell将\(\dfrac{\mathrm{d} \varPhi_{D}}{\mathrm{d} t}\)称为位移电流，而称\(\dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\)为位移电流密度。同时，将传导电流 \[ I_{0} = \iint_{S} \boldsymbol{j} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 与位移电流合在一起称为全电流。由此可以得出：全电流在非恒定情况下依然连续。
上述结论可以通过电容器的例子直观说明。如图所示，在一个极板表面内、外各取一面\(S_{1}\)和\(S_{2}\)，则通过\(S_{1}\)的既有传导电流，又有位移电流，而通过\(S_{2}\)的只有位移电流。但是由于导体内电位移\(D_{\mathrm{inner}}\)与位移电流可以忽略 （我们先考虑导体内外电位移之比。将\(S_{1}\)与\(S_{2}\)组成闭合曲面，那么由Gauss定理有 \[ \iint_{S} \boldsymbol{D} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = D_{\mathrm{outer}}S - D_{\mathrm{inner}}S = \sum q_{0} \] 即 \[ D_{\mathrm{outer}} = D_{\mathrm{innter}} + \sigma_{\mathrm{e}0} \] 在导体内，对于角频率为\(\omega\)的交变电场而言，其电流密度为\(j_{0} = \dfrac{\partial \sigma_{\mathrm{e}0}}{\partial t} \approx \omega \sigma_{\mathrm{e}0}\)。同时由于\(D_{\mathrm{inner}} \approx \varepsilon \varepsilon_{0}E\)，\(j_{0} = \sigma E\)，因此可得\(D_{\mathrm{inner}} = \dfrac{\varepsilon \varepsilon_{0} \omega }{\sigma}\sigma_{\mathrm{e}0}\)。于是有 \[ \dfrac{D_{\mathrm{inner}}}{D_{\mathrm{outer}}} \approx \dfrac{\dfrac{\varepsilon \varepsilon_{0} \omega }{\sigma}}{1+\dfrac{\varepsilon \varepsilon_{0} \omega }{\sigma}} \] 不难计算出，当\(\omega \ll 10^{18}\)Hz（X射线的频率）时，\(D_{\mathrm{inner}}\)相对于\(D_{\mathrm{outer}}\)可以忽略不计。
导体内位移电流密度为\(\dfrac{\partial D_{\mathrm{inner}}}{\partial t} \approx \omega D_{\mathrm{inner}}\)，传导电流密度为\(j_{0} = \dfrac{\mathrm{d} \sigma_{\mathrm{e}0}}{\mathrm{d} t}\approx \omega D_{\mathrm{outer}}\)，所以有 \[ \dfrac{\dfrac{\partial D_{\mathrm{inner}}}{\partial t}}{j_{0}} = \dfrac{D_{\mathrm{inner}}}{D_{\mathrm{outer}}} \] 在一般情况下，上述比值也是远小于1的。 ） ，因此与静电情况类似，有 \[ D_{\mathrm{inner}} \approx 0 \] 同时 \[ D_{\mathrm{outer}} \approx \sigma_{\mathrm{e}0} \]
假设电容器极板的面积为\(S\)，那么通过\(S_{1}\)的全电流为 \[ \left( j_{0} + \dfrac{\partial D_{\mathrm{inner}}}{\partial t} \right) S \approx j_{0}S = I_{0} \] 通过\(S_{2}\)的全电流为 \[ \dfrac{\mathrm{d} \varPhi_{D}}{\mathrm{d} t} = \dfrac{\partial D_{\mathrm{outer}}}{\partial t}S = \dfrac{\partial \sigma_{\mathrm{e}0}}{\partial t}S \]
电容器极板之间的位移电流
由于\(j_{0} = \dfrac{\partial \sigma_{\mathrm{e}0}}{\partial t}\)，因此上面两表达式相等。这样，在电容器极板表面中断了的传导电流\(I_{0}\)被间隙中的位移电流\(\dfrac{\mathrm{d} \varPhi}{\mathrm{d} t}\)接替下去，二者在一起保持着连续性。
现在我们回到开始时的那个问题：如何将Ampere环路定理推广到非恒定情况？显然，由于全电流的连续性，因此在非恒定条件下应当用全电流代替传导电流，即 \[ \oint_{L} \boldsymbol{H} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = I_{0} + \dfrac{\mathrm{d} \varPhi_{D}}{\mathrm{d} t} \] 以上便是Maxwell的位移电流假说（1861-1862年）。
在电介质中，位移电流为 \[ \dfrac{\mathrm{d} \varPhi_{D}}{\mathrm{d} t} = \varepsilon_{0}\iint_{S}\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} + \iint_{S}\dfrac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 我们分别看上式右端两项的物理意义。先看第二项。由第二章可得 \[ \iint_{S}\boldsymbol{P} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = -q' \] 取对于时间的导数可得 \[ \iint_{S}\dfrac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = -\dfrac{\mathrm{d} q'}{\mathrm{d} t} \] 由于极化电荷的连续方程为 \[ \iint_{S}\boldsymbol{j} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = -\dfrac{\mathrm{d} q'}{\mathrm{d} t} \] 其中，\(\boldsymbol{j}_{P}\)为极化电流密度。由此可见 \[ \iint_{S}\dfrac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = \iint_{S}\boldsymbol{j} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 这表明，右端第二项表示由极化电荷运动所引起的电流。
然后看右边第一项，其与电场的时间变化率\(\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\)相联系。在真空中，\(\boldsymbol{P} = 0\)，同时\(\dfrac{\partial \boldsymbol{P}}{\partial t} = 0\)，因此此时位移电流表示为 \[ \dfrac{\mathrm{d} \varPhi_{D}}{\mathrm{d} t} = \varepsilon_{0}\iint_{S}\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 由此可见，右边第一项是位移电流的基本组成部分。因此，我们可以看出，位移电流的本质并非“电荷流动”，而是变化的电场。
Ampere环路定理${L} \(\boldsymbol{j}\)ot = I{0}\(的实质在于说明传导电流是激发涡旋磁场的源泉，而位移电流假说\){L} \(\boldsymbol{j}\)ot = I{0} + $实质上意味着Maxwell认为变化着的电场激发涡旋磁场，这是在Ampere环路定理上的进步。
Maxwell方程组
将上述结果综合起来，就得到了在普遍情况下，电磁场必须满足的方程组 \[\begin{align} \left\{ %在equation环境下使用，用\left\{命令添加左大括号，用\right.以打点.结束 \begin{aligned} & \iint_{S}$\boldsymbol{D}$$\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d}$\boldsymbol{S}$= q_{0}\\ & \oint_{L}$\boldsymbol{E}$$\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d}$\boldsymbol{l}$= -\iint \dfrac{\partial$\boldsymbol{B}$}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d}$\boldsymbol{S}$\quad\\ & \iint_{S}$\boldsymbol{B}$$\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d}$\boldsymbol{S}$= 0 \\ & \oint_{L}$\boldsymbol{H}$$\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d}$\boldsymbol{l}$=I_{0} + \iint \dfrac{\partial$\boldsymbol{D}$}{\partial t} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d}$\boldsymbol{S}$\\ \end{aligned} \right. \end{align}\] 上式是Maxwell方程组的积分形式。
利用矢量分析中的Gauss定理与Stokes定理，可以由Maxwell方程组的积分形式推导出其微分形式。首先推导Gauss定理的微分形式，假定自由电荷的体密度为\(\rho_{\mathrm{e}0}\)，那么Gauss定理可写为 \[ \iint_{S} \boldsymbol{D} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = \iiint_{V} \rho_{\mathrm{e}0} \mathrm{d} V \] 利用矢量分析中的Gauss定理可将左边的面积分变为体积分，因此可得 \[ \iiint_{V} \nabla $\boldsymbol{j}$ot \boldsymbol{D}\mathrm{d} V = \iiint_{V} \rho_{\mathrm{e}0} \mathrm{d} V \] 因为上式对于任何体积\(V\)均成立，因此可得 \[ \nabla $\boldsymbol{j}$ot \boldsymbol{D} = \rho_{\mathrm{e}0} \] 这就是Gauss定理的微分形式
其次推导Maxwell位移电流假说的微分形式。假定传导电流密度为\(\boldsymbol{j}_{0}\)，那么有 \[ \oint_{L} \boldsymbol{H} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \iint_{S} \left( \boldsymbol{j}_{0} + \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 利用矢量分析中的Stokes定量将左边的线积分化为面积分，因此有 \[ \iint_{S} \nabla \times \boldsymbol{H} $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} = \iint_{S} \left( \boldsymbol{j}_{0} + \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \right) $\boldsymbol{j}$ot \mathrm{d} \boldsymbol{S} \] 由于上式对于任意曲面成立，因此可得 \[ \nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}_{0} + \dfrac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \]
由上述方法不难推导出剩下两个方程，由此可得下面的方程组 \[\begin{align} \left\{ %在equation环境下使用，用\left\{命令添加左大括号，用\right.以打点.结束 \begin{aligned} & \nabla $\boldsymbol{j}$ot$\boldsymbol{D}$= \rho_{\mathrm{e}0}\\ & \nabla \times$\boldsymbol{E}$= -\dfrac{\partial$\boldsymbol{B}$}{\partial t}\\ & \nabla $\boldsymbol{j}$ot$\boldsymbol{B}$= 0\\ & \nabla \times$\boldsymbol{H}$=$\boldsymbol{j}$_{0} + \dfrac{\partial$\boldsymbol{D}$}{\partial t}\\ \end{aligned} \right. \end{align}\] 上述方程组是Maxwell方程组的微分形式。
在介质中，还需补充三个描述介质性质的方程组。以各向同性线性介质为例，其所满足的方程组为 \[\begin{align} \left\{ %在equation环境下使用，用\left\{命令添加左大括号，用\right.以打点.结束 \begin{aligned} &$\boldsymbol{D}$= \varepsilon\varepsilon_{0}$\boldsymbol{E}$\\ &$\boldsymbol{B}$= \mu\mu_{0}$\boldsymbol{H}$\\ &$\boldsymbol{j}$_{0} = \sigma$\boldsymbol{E}$\\ \end{aligned} \right. \end{align}\] 其中，\(\varepsilon\)是相对介电常量，\(\mu\)是相对磁导率，\(\sigma\)是电导率。最后一个表达式为Ohms定律的微分形式。（如果介质以速度\(\boldsymbol{v}\)在磁场中运动，那么在此式右端还应当加上Lorentz力的贡献 \[ \boldsymbol{j}_{0} = \sigma \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \right) \] 如果有任何非静电外力\(\boldsymbol{K}\)，那么Ohms定律应当写成 \[ \boldsymbol{j}_{0} = \sigma \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{K} \right) \] ）
Maxwell方程组加上上述描述介质性质的方程，全面总结了电磁场的规律，理论上可以利用其解决所有宏观电磁场问题。
拓展
上面的微分形式Maxwell方程组是其在宏观下的表达形式，并非其最基本形式。最基本形式应当为 \[\begin{align} \left\{ %在equation环境下使用，用\left\{命令添加左大括号，用\right.以打点.结束 \begin{aligned} & \nabla $\boldsymbol{j}$ot$\boldsymbol{E}$= \dfrac{\rho_{\mathrm{e}}}{\varepsilon_{0}}\\ & \nabla \times$\boldsymbol{E}$= -\dfrac{\partial$\boldsymbol{B}$}{\partial t}\\ & \nabla $\boldsymbol{j}$ot$\boldsymbol{B}$= 0\\ & \nabla \times$\boldsymbol{B}$= \varepsilon_{0}\mu_{0}\dfrac{\partial$\boldsymbol{E}$}{\partial t} + \mu_{0}$\boldsymbol{j}$_{0}\\ \end{aligned} \right. \end{align}\] 此方程组之中只包含两个基本场矢量\(\boldsymbol{E}\)和\(\boldsymbol{B}\)，其中\(\rho_{\mathrm{e}}\)和\(\boldsymbol{j}\)代表所有电荷和电流的密度。上式中所有量既可以被理解为微观量，也可被理解为宏观量。此时，宏观量代表微观量的统计平均。
对于宏观场，要由此形式变为前文所述形式，需要将场源\(\rho_{\mathrm{e}}\)和\(\boldsymbol{j}\)做如下分解：
\[\begin{align} \left\{ %在equation环境下使用，用\left\{命令添加左大括号，用\right.以打点.结束 \begin{aligned} & \rho_{\mathrm{e}} = \rho_{\mathrm{e}0} + \rho_{\mathrm{e}}'\\ &$\boldsymbol{j}$=$\boldsymbol{j}$_{0} +$\boldsymbol{j}$',\quad$\boldsymbol{j}$' =$\boldsymbol{j}$_{P} +$\boldsymbol{j}$_{M} \\ \end{aligned} \right. \end{align}\] 此时，\(\rho_{\mathrm{e}0}\)是自由电荷密度，${}' = -\(\boldsymbol{j}\)ot \(是极化电荷密度，\){0}\(是传导电流密度，\)'\(是诱导电流密度。其中，诱导电流密度\)'\(又可分为极化电流密度\){P} = \(和磁化电流密度\){M} = \(两部分。这样，在引入\) = + _{0}\(和\) = - $后，即可得到宏观形式Maxwell方程组。