Hamilton-Jacobi方程
正则变换
正则变换的条件
在Lagrange动力学中，广义坐标之间的变换被称为点变换。我们之所以要研究这种变换，是因为如果通过变换能够得到可遗坐标，那么对于运动过程的分析就能得到简化。由于在Hamilton动力学中，广义坐标和广义动量处于相同地位的，因此我们可以考虑更加广义的变化。由此我们将正则变换定义为
在Hamilton动力学中，如果变换 \[\left\{\begin{aligned} P_{\alpha} & = P_{\alpha}(q, p, t) \\ Q_{\alpha} & = Q_{\alpha}(q, p, t) \\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 满足Hamilton正则方程，那么我们将这种变换称为正则变换。
变换后的两组变量\(P_{\alpha}\)和\(Q_{\alpha}\)完全是等价的，因此我们没有必要再将其区分为"广义坐标"和"广义动量"。根据定义，我们可以得到一个变换是正则变换的必要条件
如果变换前后的变量满足 \[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha} \mathrm{d}Q_{\alpha} + (K - H)\mathrm{d}t = \mathrm{d}U\] 那么这样的变换为正则变换。其中，\(K\)表示变换后的Hamilton函数。
Proof. 由于变换后的变量也满足Hamilton正则方程，因此有如下关系式成立 \[\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} - H(q, p, t) \right]\mathrm{d}t = \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha}\dot{Q}_{\alpha} - K(Q, P, t) \right]\mathrm{d}t = 0\]
在此我们先中断推导，考虑将某个函数\(U\)对于时间的全导数\(\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}\)对时间积分后再变分 \[\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = \delta U \bigg|_{t_{1}}^{t_{2}}\] 一般情况下，力学系统的始末状态都是给定的，因此有 \[\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = 0\]
回到原来的问题，我们将上面推导结果中的右边改写为包含某个函数\(U\)的变分，这样有 \[\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[\left(\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} - H(q, p, t) \right)- \left(\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha}\dot{Q}_{\alpha} - K(Q, P, t) \right)\right]\mathrm{d}t = \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t\] 从而 \[\left(\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} - H(q, p, t) \right)- \left(\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha}\dot{Q}_{\alpha} - K(Q, P, t) \right)= \dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}\] 从而可以得到结果。 ◻
母函数
我们将正则变换的必要条件 \[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha} \mathrm{d}Q_{\alpha} + (K - H)\mathrm{d}t = \mathrm{d}U\] 中包含的函数\(U\)称为正则变换的母函数。
由定义中的表达式，我们可以将\(U\)表示为 \[U_{1} = U_{1}(q, Q, t)\] 这样由母函数定义式不难得到 \[\left\{\begin{aligned} K - H & = \dfrac{\partial U_{1}}{\partial t} \\ p_{\alpha} & = \dfrac{\partial U_{1}}{\partial q_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\\ P_{\alpha} & = -\dfrac{\partial U_{1}}{\partial Q_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \end{aligned}\right.\] 上面的三个表达式与正则变换关系是等价的。通过上面的变换关系我们可以求解出正则变换关系。
在介绍下面的内容前，我们需要先介绍一个数学概念
对于凸函数\(f(x)\)，我们对其进行Legendre变换后的函数\(\tilde{f}(u)\)定义为 \[\tilde{f}(u) = ux(u) - f(x(u))\] 其中，\(u = f(x)'\)，并且\(x = [f']^{-1}(u)\)
例如，如果我们对Lagrange函数使用Legendre变换，那么此时\(u_{\alpha} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} = p_{\alpha}\)，从而 \[H(q, p, t) = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha} q_{\alpha} - L(q, \dot{q}, t)\]
由此，我们可以对母函数进行如下三种Legendre变换
使用\(p, Q, t\)作为自变量
由于 \[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha} \mathrm{d}Q_{\alpha} + (K - H)\mathrm{d}t = \mathrm{d}U_{1}\] 因此 \[\dfrac{\partial U_{1}}{\partial q_{\alpha}} = p_{\alpha}\] 此时由Legendre变换可得 \[U_{2}(p, Q, t) = U_{1}(q, Q, t) - \sum\limits_{s = 1}^{\alpha}p_{\alpha}q_{\alpha}\] 从而 \[\begin{aligned} \mathrm{d}U_{2} & = \mathrm{d}U_{1} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} q_{\alpha} \mathrm{d}p_{\alpha} \\ & = -\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}q_{\alpha} \mathrm{d}p_{\alpha} - \sum\limits_{\alpha =1}^{s}P_{\alpha} \mathrm{d}Q_{\alpha} + (K - H) \mathrm{d}t \end{aligned}\] 由此 \[\left\{\begin{aligned} K - H & = \dfrac{\partial U_{2}}{\partial t} \\ q_{\alpha} & = -\dfrac{\partial U_{2}}{\partial p_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\\ P_{\alpha} & = -\dfrac{\partial U_{2}}{\partial Q_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \end{aligned}\right.\]
这里存在一个问题，那就是为什么我们通过Legendre变换得到的结果是\(\displaystyle U_{2}(p, Q, t) = U_{1}(q, Q, t) - \sum\limits_{s = 1}^{\alpha}p_{\alpha}q_{\alpha}\)而非更加符合数学形式的\(\displaystyle U_{2}(p, Q, t) = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha}q_{\alpha} - U_{1}(q, Q, t)\)。一种可能的解释是，Legendre变换需要保持辛结构，也就是使Possion括号不变。这一点在后面讨论时会看到。
使用\(q, P, t\)作为自变量
由于 \[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha} \mathrm{d}Q_{\alpha} + (K - H)\mathrm{d}t = \mathrm{d}U_{1}\] 因此 \[\dfrac{\partial U_{1}}{\partial Q_{\alpha}} = - P_{\alpha}\] 此时由Legendre变换可得 \[U_{3}(q, P, t) = U_{1}(q, Q, t) + \sum\limits_{s = 1}^{\alpha}P_{\alpha}Q_{\alpha}\] 从而 \[\begin{aligned} \mathrm{d}U_{3} & = \mathrm{d}U_{1} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha} \mathrm{d}Q_{\alpha} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} Q_{\alpha} \mathrm{d}P_{\alpha} \\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}q_{\alpha} \mathrm{d}p_{\alpha} + \sum\limits_{\alpha =1}^{s}Q_{\alpha} \mathrm{d}P_{\alpha} + (K - H) \mathrm{d}t \end{aligned}\] 由此 \[\left\{\begin{aligned} K - H & = \dfrac{\partial U_{3}}{\partial t} \\ p_{\alpha} & = \dfrac{\partial U_{3}}{\partial q_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\\ Q_{\alpha} & = \dfrac{\partial U_{3}}{\partial P_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \end{aligned}\right.\]
使用\(p, P, t\)作为自变量
由于 \[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha} \mathrm{d}Q_{\alpha} + (K - H)\mathrm{d}t = \mathrm{d}U_{1}\] 因此 \[\left\{\begin{aligned} \dfrac{\partial U_{1}}{\partial q_{\alpha}} & = p_{\alpha} \\ \dfrac{\partial U_{1}}{\partial Q_{\alpha}} & = -P_{\alpha} \end{aligned}\right.\] 此时由Legendre变换可得 \[U_{4}(p, P, t) = U_{1}(q, Q, t) - \sum\limits_{s = 1}^{\alpha}p_{\alpha}q_{\alpha} + \sum\limits_{s = 1}^{\alpha} P_{\alpha}Q_{\alpha}\] 从而 \[\begin{aligned} \mathrm{d}U_{4} & = \mathrm{d}U_{1} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} q_{\alpha} \mathrm{d}p_{\alpha} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}P_{\alpha}\mathrm{d}Q_{\alpha} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}Q_{\alpha}\mathrm{d}P_{\alpha} \\ & = -\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}q_{\alpha} \mathrm{d}p_{\alpha} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}Q_{\alpha} \mathrm{d}P_{\alpha} + (K - H) \mathrm{d}t \end{aligned}\] 由此 \[\left\{\begin{aligned} K - H & = \dfrac{\partial U_{4}}{\partial t} \\ q_{\alpha} & = -\dfrac{\partial U_{4}}{\partial p_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\\ Q_{\alpha} & = \dfrac{\partial U_{4}}{\partial P_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \end{aligned}\right.\]
Possion括号的不变性
Possion括号的一个重要性质为其在正则变换下不变，即
如果我们将正则变换前的正则变量记为\(p_{\alpha}\)和\(q_{\alpha}\)，将变换后的变量记为\(P_{\alpha}\)和\(Q_{\alpha}\)，并将变换前的Possion括号记为\([\varphi, \psi]_{pq}\)，将变换后的Possion括号记为\([\varphi, \psi]_{PQ}\)，那么有 \[[\varphi, \psi]_{pq} = [\varphi, \psi]_{PQ}\]
Proof. 我们按照\(q, P, t\)作为母函数的自变量，这样可以得到正则变换关系为 \[\left\{\begin{aligned} p_{\alpha} & = \dfrac{\partial U_{3}}{\partial q_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\\ Q_{\alpha} & = \dfrac{\partial U_{3}}{\partial P_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \end{aligned}\right.\] 对于任意一个力学量\(f\)，我们总是可以将其表示为\(f = F(q, p(q, P), t)\)或\(f = F(Q(q, P), P, T)\)，这样使用两种形式分别对\(q_{\alpha}\)求偏导时有 \[\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial q_{\alpha}} & = \dfrac{\partial F}{\partial q_{\alpha}} + \sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial F}{\partial p_{\beta}} \dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \\ & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial F}{\partial Q_{\beta}} \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \end{aligned}\] 由此可得 \[\dfrac{\partial }{\partial q_{\alpha}} = \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \left(-\dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}\dfrac{\partial }{\partial p_{\beta}} + \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \dfrac{\partial}{\partial Q_{\beta}} \right)\] 从而 \[\begin{aligned} \relax [\varphi, \psi]_{pq} & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left[\dfrac{\partial \varphi}{\partial q_{\alpha}} \dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial q_{\alpha}}\right]\\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\left[\sum\limits_{\beta = 1}^{s} \left(-\dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}} + \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\beta}} \right)\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \left(-\dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} + \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\beta}} \right)\dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\right]\\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\beta}} \dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\beta}}\right)- \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} \right)\\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial^{2} U}{\partial q_{\alpha}\partial P_{\beta}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\beta}} \dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\beta}}\right)- \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial^{2} U}{\partial q_{\alpha}\partial q_{\beta}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} \right)\\ \end{aligned}\] 仔细观察上式结果中的第二部分，由于其中\(\alpha\)和\(\beta\)都是求和指标，因此其顺序可以交换，从而 \[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial^{2} U}{\partial q_{\alpha}\partial q_{\beta}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} \right)= \sum\limits_{\beta = 1}^{s}\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\dfrac{\partial^{2} U}{\partial q_{\beta}\partial q_{\alpha}} \left(- \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} + \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} \right)\] 由此可以看出，这一项与其自身负数相等，从而该项的结果等于0。由此可得 \[[\varphi, \psi]_{pq} = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial^{2} U}{\partial q_{\alpha}\partial P_{\beta}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\beta}} \dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\beta}}\right)\]
再看\([\varphi, \psi]_{PQ}\)，同样地，对于任意一个力学量\(f\)，我们总是可以将其表示为\(f = F(q, p(q, P), t)\)或\(f = F(Q(q, P), P, T)\)，这样使用两种形式分别对\(P_{\alpha}\)求偏导时有 \[\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial P_{\alpha}} & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial F}{\partial p_{\beta}} \dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \\ & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial F}{\partial Q_{\beta}} \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} + \dfrac{\partial F}{\partial P_{\alpha}} \end{aligned}\] 这样有 \[\dfrac{\partial }{\partial P_{\alpha}} = \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \dfrac{\partial}{\partial p_{\beta}} - \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \dfrac{\partial}{\partial Q_{\beta}} \right)\] 从而 \[\begin{aligned} \relax [\varphi, \psi]_{PQ} & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left[\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\alpha}} \dfrac{\partial \psi}{\partial P_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial P_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\alpha}}\right]\\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\left[\sum\limits_{\beta = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} - \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\beta}} \right)\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\alpha}} - \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}} - \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \dfrac{\partial\varphi}{\partial Q_{\beta}} \right)\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\alpha}}\right]\\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial Q_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\beta}} \dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\beta}}\right)+ \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial p_{\beta}}{\partial P_{\alpha}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\alpha}} \right)\\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial^{2} U}{\partial P_{\alpha}\partial P_{\beta}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\beta}} \dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\beta}}\right)+ \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial^{2} U}{\partial q_{\beta}\partial P_{\alpha}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\alpha}} \right)\\ \end{aligned}\] 同样地，我们可以得到上式结果的第一项为0，从而结果为 \[\begin{aligned} \relax [\varphi, \psi]_{PQ} & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial^{2} U}{\partial q_{\beta}\partial P_{\alpha}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\beta}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\beta}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\alpha}} \right)\\ & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s}\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\dfrac{\partial^{2} U}{\partial q_{\alpha}\partial P_{\beta}} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial Q_{\beta}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial Q_{\beta}} \right)\\ \end{aligned}\] 由此可以看出 \[[\varphi, \psi]_{pq} = [\varphi, \psi]_{PQ}\] ◻
由Possion括号的定义，我们可以直接得到如下结果
假设\(Q_{\alpha}\)和\(P_{\alpha}\)是变量\(q\)和\(p\)通过正则变换得到的结果，那么有 \[\left\{\begin{aligned} \relax [P_{\alpha}, P_{\beta}]_{PQ} & = [P_{\alpha}, P_{\beta}]_{pq} = 0 \\ [Q_{\alpha}, Q_{\beta}]_{PQ} & = [Q_{\alpha}, Q_{\beta}]_{pq} = 0 \\ [Q_{\alpha}, P_{\beta}]_{PQ} & = [Q_{\alpha}, P_{\beta}]_{pq} = \delta_{\alpha\beta} \end{aligned}\right.\]
利用上式我们可以验证变换关系是否正则变换
无限小正则变换
如果我们将母函数定义为 \[U_{3} = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}q_{\alpha}P_{\alpha} + \varepsilon G(q, P)\] 其中，\(\varepsilon\)为某个无限小参数。那么我们由正则变换公式不难得到 \[\left\{\begin{aligned} p_{\alpha} & = P_{\alpha} + \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial q_{\alpha}} \\ Q_{\alpha} & = q_{\alpha} + \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial P_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right.\] 从而得到 \[\left\{\begin{aligned} P_{\alpha} & = p_{\alpha} - \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial q_{\alpha}} \\ Q_{\alpha} & = q_{\alpha} + \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial P_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right.\] 由此我们给出如下定义
如果正则变换关系为 \[\left\{\begin{aligned} P_{\alpha} & = p_{\alpha} - \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial q_{\alpha}} \\ Q_{\alpha} & = q_{\alpha} + \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial P_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 其中，\(\varepsilon\)为某个无限小参数，那么我们将这种正则变换关系称为无限小正则变换。
注意到在变换中，\(P_{\alpha} = p_{\alpha} - \varepsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_{\alpha}}\)，因此如果我们想把\(G(q, P)\)变为\(G(q, p)\)那么 \[\begin{aligned} \dfrac{\partial G(q, p)}{\partial p_{\alpha}} & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial G(q, P)}{\partial P_{\beta}} \dfrac{\partial P_{\beta}}{\partial p_{\alpha}} \\ & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s}\dfrac{\partial G(q, P)}{\partial P_{\beta}} \left(\delta_{\beta\alpha} - \varepsilon \dfrac{\partial^{2}G(q, P)}{\partial q_{\alpha} \partial p_{\alpha}} \right)\\ & \approx \dfrac{\partial G(q, P)}{\partial P_{\alpha}} \end{aligned}\] 由此我们可以用\(\dfrac{\partial G(q, p)}{\partial p_{\alpha}}\)近似代替\(\dfrac{\partial G(q, P)}{\partial P_{\alpha}}\)，从而有
如果正则变换关系为 \[\left\{\begin{aligned} P_{\alpha} & = p_{\alpha} - \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial q_{\alpha}} \\ Q_{\alpha} & = q_{\alpha} + \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial p_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 其中，\(\varepsilon\)为某个无限小参数，那么我们也将这种正则变换关系称为无限小正则变换。
如果我们将变换前后的正则变量视为相空间中一段移动过程的始末状态的坐标，那么无限小正则变换即为相空间的无限小移动，从而 \[\left\{\begin{aligned} \mathrm{d}p_{\alpha} & = - \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial q_{\alpha}} \\ \mathrm{d}q_{\alpha} & = \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial p_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 从定义上讲，只有\(U_{3} = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}q_{\alpha}P_{\alpha} + \varepsilon G(q, P)\)才是母函数，但通常也将\(G(q, p)\)称为母函数。
如果母函数\(G\)为 \[G = H(q, p, t)\] 那么无限小正则变换为 \[\left\{\begin{aligned} \mathrm{d}p_{\alpha} & = - \mathrm{d}t\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \\ \mathrm{d}q_{\alpha} & = \mathrm{d}t\dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 其中，\(\varepsilon = \mathrm{d}t\)，也就是表示一个无限小参数。从而有 \[\left\{\begin{aligned} \dot{p}_{\alpha} & = - \dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \\ \dot{q}_{\alpha} & = \dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 这样我们就得到了Hamilton正则方程。同时这表明，无限小正则变换可以表示力学系统在\(\mathrm{d}t\)内的演变。
由于多个无限小正则变换的叠加可以视为一个正则变换1，因此根据上面的例子，我们可以直接得到如下推论
力学系统在一段时间内的演变可以通过初始状态进行正则变换得到。
由于无限小正则变换表示力学系统在相空间中的移动，因此任意一个力学量\(u\)的值自然会发生变化。如果\(u\)不显式含时，那么其全微分为 \[\mathrm{d}u = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\left(\dfrac{\partial u}{\partial q_{\alpha}}\mathrm{d}q_{\alpha} + \dfrac{\partial u}{\partial p_{\alpha}} \mathrm{d}p_{\alpha}\right)\] 将变换公式代入可得 \[\begin{aligned} \mathrm{d}u & = \varepsilon\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\left(\dfrac{\partial u}{\partial q_{\alpha}}\dfrac{\partial G}{\partial p_{\alpha}} - \dfrac{\partial u}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial G}{\partial q_{\alpha}} \right)\\ & = \varepsilon [u, G] \end{aligned}\]
将Hamilton函数\(H\)代入可得 \[\begin{aligned} \mathrm{d}H & = \varepsilon[H, G] \\ & = \varepsilon\dfrac{\partial G}{\partial t} \\ \end{aligned}\] 其中，上式中得到第二行的原因为\([\varphi, H] = -\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}\)。如果\(G\)为运动积分，那么\(\dfrac{\partial G}{\partial t} = 0\)，从而\(\mathrm{d}H = 0\)。
通过上面的例子可以直接得到如下推论
如果以\(G(q, p)\)为母函数的无限小正则变换使得Hamilton函数\(H\)保持不变，那么\(G\)为力学系统的运动积分。
Hamilton-Jacobi方程
Hamilton主函数
在上一节中，我们得到了这样一个结论：力学系统在一段时间内的演变可以通过初始状态进行正则变换得到。反过来，如果已知力学系统在\(t\)时刻的状态，我们总是可以通过一个正则变换将其还原为初始状态，也就是还原为常数。2下面我们来寻找这种正则变换。
如果母函数\(U = U(q, P, t)\)满足如下的微分方程 \[H\left(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dfrac{\partial U}{\partial q_{1}}, \dfrac{\partial U}{\partial q_{2}}, \dots, \dfrac{\partial U}{\partial q_{s}}, t \right)+ \dfrac{\partial U}{\partial t} = 0\] 那么我们通过该母函数确定的正则变换的逆变换即可得到原本的正则变量。我们将该方程称为Hamilton-Jacobi方程，将解\(U = S(q, P, t)\)称为Hamilton主函数。
Proof. 这里我们主要说明两个问题：
如何得到Hamilton-Jacobi方程
为什么通过Hamilton主函数可以得到原本的正则变量
对于第一个问题，首先我们希望变换后的Hamilton函数\(K(P, Q, t)\)恒为0，这样可以得到 \[\left\{\begin{aligned} \dot{P}_{\alpha} & = -\dfrac{\partial K}{\partial Q_{\alpha}} = 0 \\ \dot{Q}_{\alpha} & = \dfrac{\partial K}{\partial P_{\alpha}} = 0 \\ \end{aligned}\right.\] 从而所有的正则变量都是常数。这样根据\(K\)和\(H\)之间的关系可以得到 \[H(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{s}, t) + \dfrac{\partial U}{\partial t} = 0\] 如果\(U = U(q, P, t)\)，那么有 \[p_{\alpha} = \dfrac{\partial U}{\partial q_{\alpha}}\] 从而 \[H\left(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dfrac{\partial U}{\partial q_{1}}, \dfrac{\partial U}{\partial q_{2}}, \dots, \dfrac{\partial U}{\partial q_{s}}, t \right)+ \dfrac{\partial U}{\partial t} = 0\]
对于第二个问题，假设上述方程的解为\(U = S(q, P, t)\)，那么根据母函数的定义可得 \[\left\{\begin{aligned} p_{\alpha} & = \dfrac{\partial S}{\partial q_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\\ Q_{\alpha} & = \dfrac{\partial S}{\partial P_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \end{aligned}\right.\] 此时，由于\(P_{\alpha}\)和\(Q_{\alpha}\)都是常数，因此从 \[\dfrac{\partial S}{\partial P_{\alpha}} = Q_{\alpha}\] 可以得到，此时\(S\)可以表示为 \[S = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}f_{\alpha}(q, P_{\text{无}\alpha}, t)P_{\alpha} + g_{\alpha}(q, t)\] 其中，\(P_{\text{无}\alpha}\)表示除了\(P_{\alpha}\)之外的所有\(P\)。这样我们可以得到方程组 \[f_{\alpha}(q, P_{\text{无}\alpha}, t) = Q_{\alpha}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 来求解出\(q_{\alpha}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\)。这样将\(q_{\alpha}\)代入\(S\)，并对\(q_{\alpha}\)求偏导即可得到\(p_{\alpha}\)。 ◻
注意到，在Hamilton-Jacobi方程中，有\(s + 1\)个变量（\(s\)个广义坐标与时间），因此应该得到\(s + 1\)个积分常数。但是如果我们将\(S + C\)代入原方程（\(S\)为得到的解），不难看出其依然满足原方程，从而\(s + 1\)个积分常数中的一个以与\(S\)加和的形式出现，这样在\(S\)中有\(s\)个积分常数\(C_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)显式出现。由于我们没有规定\(S\)对\(P_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)的依赖性，因此我们可以将\(C_{\alpha}\)取为\(P_{\alpha}\)。
对于Hamilton主函数\(S\)，我们将其对时间求全导数可得 \[\dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\dfrac{\partial S}{\partial q_{\alpha}}\dot{q}_{\alpha} + \dfrac{\partial S}{\partial t}\] 由于 \[\left\{\begin{aligned} K - H & = \dfrac{\partial U_{3}}{\partial t} \\ p_{\alpha} & = \dfrac{\partial U_{3}}{\partial q_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\\ Q_{\alpha} & = \dfrac{\partial U_{3}}{\partial P_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \end{aligned}\right.\] 因此 \[\dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} - H = L\] 这样，Hamilton主函数的时间变化率即为Lagrange函数，由此可得 \[S = \int L\mathrm{d}t\] 可以看出，Hamilton主函数\(S\)的量纲为"能量\(\times\)时间"，或者记为\([\mathrm{ML^{2}T^{-1}}]\)。
由此我们可以总结出如下命题：
使用Hamilton-Jacobi方程求解力学系统动力学问题的流程为
将Hamilton函数\(H(q, p, t)\)改写为\(H\left(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dfrac{\partial U}{\partial q_{1}}, \dfrac{\partial U}{\partial q_{2}}, \dots, \dfrac{\partial U}{\partial q_{s}}, t \right)\)，并由此写出Hamilton-Jacobi方程 \[H\left(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dfrac{\partial U}{\partial q_{1}}, \dfrac{\partial U}{\partial q_{2}}, \dots, \dfrac{\partial U}{\partial q_{s}}, t \right)+ \dfrac{\partial U}{\partial t} = 0\]
解出Hamilton主函数\(S(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, C_{1}, C_{2}, \dots, C_{s})\)
将积分常数\(C_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)作为变换后的广义动量\(P_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)，并通过正则变换 \[Q_{\alpha} = \dfrac{\partial S}{\partial P_{\alpha}}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \] 可以得到\(Q_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)也为常数
在此基础上求出\(q_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)，并由此求出\(p_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)（可参考Hamilton-Jacobi方程的推导中的第二部分）
Hamilton特征函数
如果Hamilton函数\(H\)不显式含时，那么可以将Hamilton-Jacobi方程中的广义坐标与时间分离。也就是说，此时我们假设解的形式为 \[S(q, P, t) = W(q, P) + f(t)\] 那么代入原方程可得 \[H\left(q, \dfrac{\partial W}{\partial q} \right)= -f'(t)\] 由于两侧的自变量不同，因此二者必须都等于一常数，从而 \[\left\{\begin{aligned} & f'(t) = -E \\ & H\left(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dfrac{\partial W}{\partial q_{1}}, \dfrac{\partial W}{\partial q_{2}}, \dots, \dfrac{\partial W}{\partial q_{s}} \right)= E \\ \end{aligned}\right.\] 由方程1不难得到 \[f(t) = -Et\] 同时可以得到如下定理
如果Hamilton-Jacobi方程的解可以写为 \[S(q, P, t) = W(q, P) + f(t)\] 那么我们将 \[H\left(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dfrac{\partial W}{\partial q_{1}}, \dfrac{\partial W}{\partial q_{2}}, \dots, \dfrac{\partial W}{\partial q_{s}} \right)= E\] 其中，\(E\)为常数，那么我们将上式也称为Hamilton-Jacobi方程，其解\(H = W(q, P)\)为Hamilton特征函数。
此时算上\(E\)我们共有\(s\)个积分常数，不妨将\(E\)设置为\(C_{1}\)。这样母函数\(W\)可以表示为 \[W = W(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, E, C_{2}, \dots, C_{s})\] 并且如果我们将\(W\)作为母函数，那么会得到 \[K = H + \dfrac{\partial W}{\partial t} = H = E\] 也就是变换后的Hamilton函数为常数。并且由于此时的广义动量被取为包括\(E\)在内的\(s\)个积分常数，因此所有变换后的广义坐标\(Q_{\alpha}\)都是可遗坐标。
可分离系统
如果力学系统的Hamilton-Jacobi方程可以通过分离变量的方法求解，那么我们将力学系统称为可分离系统。如果系统的所有变量均可分离，那么我们将其称为完全可分离系统。
换言之，如果Hamilton-Jacobi方程的形式为 \[H\left[q_{\alpha}, \dfrac{\partial W}{\partial q_{\alpha}}, \phi\left(q_{1}, \dfrac{\partial W}{\partial q_{1}} \right)\right]= E\] 其中\(\alpha \neq 1\)，那么我们假设解的形式为 \[W = W'(q_{\alpha}) + W_{1}(q_{1})\] 从而有 \[H\left[q_{\alpha}, \dfrac{\partial W}{\partial q_{\alpha}}, \phi_{1}\left(q_{1}, \dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}q_{1}} \right)\right]= E\] 如果我们将\(\phi_{1}\)分离出来，并将\(W_{1}\)的剩余部分记为\(\varPhi\left(q_{\alpha}, \dfrac{\partial W'}{\partial q_{\alpha}}\right),\ \alpha \neq 1\)，那么 \[\varPhi\left(q_{\alpha}, \dfrac{\partial W'}{\partial q_{\alpha}}\right)= \phi_{1}\left(q_{1}, \dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}q_{1}} \right)\] 由于两边的自变量不同，因此两边都等于一个常数，从而 \[\left\{\begin{aligned} H\left(q_{\alpha}, \dfrac{\partial W'}{\partial q_{\alpha}}, C_{2} \right)& = E \\ \phi_{1} \left(q_{1}, \dfrac{\mathrm{d}W_{1}}{\mathrm{d}q_{1}} \right)& = C_{2} \\ \end{aligned}\right.\] 由此我们完成了针对变量\(q_{1}\)的分离。类似地，我们可以得到其它变量的分离方法。因此对于完全可分离系统，Hamilton特征函数的形式为 \[W = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}W_{\alpha}\left(q_{\alpha}, E, C_{2}, \dots, C_{s} \right)\]
系统是否可以分离除了取决于系统本身的特征外，还取决于所选用的广义坐标。对于给定的系统，对于一些广义坐标可能是不能分离变量的，但对于另一些广义坐标是可以分离变量的。
作用量变量与角变量
本节主要讨论每一对共轭变量各自做周期运动的系统。此处所说的周期运动包括
\(p_{\alpha}\)和\(q_{\alpha}\)都是时间的周期函数，并且周期相同。此时系统的相轨道是闭合曲线。
\(q_{\alpha}\)不做周期变换，但其每增加\(q_{0}\)系统的状态便重现一次。此时相轨道不是闭合曲线，但\(p_{\alpha}\)是\(q_{\alpha}\)的周期函数，其周期为\(q_{0}\)。
下面我们只讨论系统完全可分离，即Hamilton特征函数可以表示为 \[W = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} W_{\alpha} \left(q_{\alpha}, E, C_{2}, \dots, C_{s} \right)\] 与之前不同的是，我们此时不将积分常数作为变换后的广义动量，而是将广义动量定义为如下的作用量 \[\begin{aligned} J_{\alpha} & = \oint p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} \\ & = \oint\dfrac{\partial W_{\alpha} \left(q_{\alpha}, E, C_{2}, \dots, C_{s} \right)}{\partial q_{\alpha}} \mathrm{d}q_{\alpha},\quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{aligned}\] 积分上的圆圈表示对一个周期积分。由定义可得，\(J_{\alpha}\)仅为积分常数的函数，因此\(J_{\alpha}\)也为常数，并且我们可以用\(J_{\alpha}\)代替\(s\)个积分常数，从而将Hamilton特征函数记为 \[W = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}W_{\alpha} \left(q_{\alpha}, J_{1}, J_{2}, \dots, J_{s} \right)\] 此时作为广义动量的\(J_{\alpha}\)对应的广义坐标被称为角变量，我们将其记为\(w_{\alpha}\) \[w_{\alpha} = \dfrac{\partial W}{\partial J_{\alpha}},\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 由于从量纲上来看，\(W\)和\(J_{\alpha}\)的量纲都是"能量\(\times\)时间"，或者记为\([\mathrm{ML^{2}T^{-1}}]\)，因此角变量\(w_{\alpha}\)的量纲为1。
由于变换后的Hamilton函数为 \[K = H + \dfrac{\partial W}{\partial t} = E\] 那么由Hamilton正则方程，角变量对时间的导数为 \[\begin{aligned} \dot{w}_{\alpha} &= \dfrac{\partial K}{\partial J_{\alpha}} \\ & = \dfrac{\partial E}{\partial J_{\alpha}},\quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{aligned}\] 这样能够得到其解为 \[w_{\alpha} = \left(\dfrac{\partial E}{\partial J_{\alpha}} \right)t - w_{\alpha, 0}\] 其中，\(w_{\alpha, 0}\)为积分常数。注意到\(w_{\alpha}\)为量纲为1的物理量，这样由上述表达式可得\(\left(\dfrac{\partial E}{\partial J_{\alpha}} \right)\)的量纲必为\([\mathrm{T}^{-1}]\)，也就是表示一种频率。如果我们计算一个周期内\(w_{\alpha}\)的增量，那么会得到 \[\begin{aligned} \Delta w_{\alpha} & = \oint \mathrm{d}w_{\alpha} \\ & = \oint \dfrac{\partial w_{\alpha}}{\partial q_{\alpha}} \mathrm{d}q_{\alpha} \\ & = \oint \dfrac{\partial^{2} W}{\partial q_{\alpha}\partial J_{\alpha}} \mathrm{d}q_{\alpha} \\ & = \dfrac{\partial}{\partial J_{\alpha}} \oint \dfrac{\partial W}{\partial q_{\alpha}} \mathrm{d}q_{\alpha} \\ & = \dfrac{\partial }{\partial J_{\alpha}} \oint p_{\alpha} \mathrm{d}q_{\alpha} \\ & = 1 \end{aligned}\] 由此可得，每经过\(q_{\alpha}\)的一个周期，\(w_{\alpha}\)增加1。由\(w_{\alpha}\)随时间变化的关系式可得，在一个周期内其增量为 \[\Delta w_{\alpha} = \left(\dfrac{\partial E}{\partial J_{\alpha}} \right)\tau_{\alpha}\] 这样\(\dfrac{\partial E}{\partial J_{\alpha}}\)为\(\tau_{\alpha}\)的倒数，从而我们将频率定义为 \[f_{\alpha} = \dfrac{\partial E}{\partial J_{\alpha}}\]
此时每个自由度各自做周期运动，因此可能会出现某两个（或多个）频率之比为无理数，这样其对应的周期之比也为无理数。这意味着系统的状态永远不会回到初始状态，从而其变化不是周期性的。
对于自由度为\(s\)的完全可分离系统，由于\(s\)个作用量变量\(J_{\alpha}\)为常数，因此在由\(q\)、\(p\)作为变量的相空间中，系统的运动轨迹将被限制在相空间的\(s\)维子空间中，或者说一个\(s\)为环面中。在环面上可以有几何性质完全不同的环路，我们通常使用作用量变量\((J_{1}, J_{2}, \dots, J_{s})\)表示这些环路，而在一给定环路上的各个点由角变量\((w_{1}, w_{2}, \dots, w_{s})\)表示。
一般地，如果所有频率相互之间的比都是无理数，那么系统就永远回不到开始状态，从而其轨迹将最终完全覆盖环面。我们将这种运动称为各态历经运动。但如果存在 \[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}m_{s}f_{s} = 0\] 其中，\(m_{s} \in \mathbb{Z}\)，那么这表明存在一个频率可以表示为其他频率的整数比组合，从而轨迹将被限制到比环面低一维的子空间中（有点类似线性独立的概念）。特别地，如果上面的等式存在\(s - 1\)个，那么这意味着只有一个"独立"的频率，其他频率都可以表示为其整数倍，从而系统运动轨迹将被限制于一维闭合曲线。
浸渐不变量与Hannay角
作用量变量的浸渐不变性
我们先给出浸渐不变量的概念
假如在Hamilton函数中存在一个随时间变化的参数\(\lambda\)，并且其随着时间的变化非常缓慢，也就是在系统的运动周期\(\tau\)中，\(\lambda\)的变化量满足 \[\tau \dfrac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}t } \ll \lambda\] 在此条件下，如果有力学量不随时间变化，那么我们将该力学量称为浸渐不变量。
由此我们可以得到如下命题
当Hamilton函数中存在随时间缓慢变化的参数\(\lambda\)时，作用量变量\(J\)不随时间变化。
Proof. 为了简单起见，我们先考虑只有一个自由度的系统，其母函数为 \[W = W(q, J, \lambda)\] 此时我们先不考虑\(\lambda\)随时间变化的情况，并且假设此时系统为周期性变化的。这样正则变换后的Hamilton函数为 \[\begin{aligned} K(w, J, \lambda) & = H(q, p, \lambda) + \dfrac{\partial W}{\partial t} \\ & = E(J, \lambda) \\ \end{aligned}\] 其中，\(E(J, \lambda)\)为常数。之所以此时无需考虑变量\(w\)，是因为此时系统是周期性变化的，\(error\)如果考虑\(\lambda\)随时间变化的情况，那么变换后的Hamilton函数为 \[\begin{aligned} K(w, J, \lambda(t)) & = H(q, p, \lambda(t)) + \dfrac{\partial W}{\partial t} \\ & = E(J, ) \end{aligned}\] ◻