力学变分原理——经典力学笔记4

力学变分原理

变分法

要讨论变分法，需要先给出一个概念的定义

对于集合\(D\)和\(I\)，如果存在对应关系\(J:D\to I\)，使得\(\forall f(x) \in D\)，都有\(y \in I\)与之对应，其中\(f(x)\)为函数，\(x,\ y\)为变量，那么我们称\(J[y]\)称为\(y = f(x)\)的泛函。

Euler方程

泛函的变分

我们先来考虑一种比较简单的情况。假设泛函\(J\)为 \[J[y] = \int_{a}^{b}F(x, y, y')\mathrm{d}x\] 我们现在考虑这样一种情况：如果函数关系\(y = f(x)\)发生一点微小变动，那么我们仿照微分的定义，将函数的这种变化记为 \[y \to y + \delta y\] 并将\(\delta y\)称为函数的变分，那么泛函的变化量\(\delta J[y]\)为 \[\begin{aligned} \delta J[y] & = J[y + \delta y] - J[y] \\ & = \int_{a}^{b}[F(x, y + \delta y, y' + \delta y') - F(x, y, y')] \mathrm{d}x \\ & \approx \int_{a}^{b} \left[\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y + \dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y' \right]\mathrm{d}x \end{aligned}\] 其中，上式结果的表达式是仿照函数的微分写出的。

简单情况的Euler方程

由于泛函的结果为数，因此就如同函数存在极值一样，泛函也存在极值。假设上述泛函取极值时，函数关系为 \[y = f(x)\] 在此基础上，泛函\(J[y]\)在\(y = f(x)\)处取极值的必要条件为

泛函\(\displaystyle J[y] = \int_{a}^{b}F(x, y, y')\mathrm{d}x\)在\(y = f(x)\)处取极值的必要条件为 \[\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)= 0\] 如果\(F(x, y, y') = C\)，那么我们有 \[F - y'\dfrac{\partial F}{\partial y'} = C\] 上面的两个方程分别为Euler方程的第一形式和第二形式。

Proof. 假设泛函\(\displaystyle J[y] = \int_{a}^{b}F(x, y, y')\mathrm{d}x\)在\(y = f(x)\)处取极值。为了研究极值附近的情况，设想\(y\)变为\(y + \delta y\)。如果我们将变分从\(y + \delta y\)变为\(y + \varepsilon \eta(x)\)，其中\(\varepsilon\)是一个小参数，那么不难看出，当\(\varepsilon = 0\)时，\(f(x) + \varepsilon\eta(x) = f(x)\)，由此仿照函数取极值的条件，我们将泛函取极值的条件表示为 \[\begin{aligned} \dfrac{\partial J[y + \varepsilon\eta]}{\partial\varepsilon} \Bigg|_{\varepsilon = 0} & = \int_{a}^{b} \left[\dfrac{\partial F}{\partial y} \eta + \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' \right]\mathrm{d}x \\ & = 0 \end{aligned}\] 由此不难看出，\(y = f(x)\)为泛函取极值时的函数的必要条件为 \[\begin{aligned} \delta J[y] & = \int_{a}^{b} \left[\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y + \dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y' \right]\mathrm{d}x \\ & = 0 \end{aligned}\]

利用分部积分法，我们可以得到 \[\begin{aligned} \int_{a}^{b} \dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y' \mathrm{d}x & = \int_{a}^{b}\dfrac{\partial F}{\partial y'} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y)\mathrm{d}x\\ & = \int_{a}^{b}\dfrac{\partial F}{\partial y'}\mathrm{d}(\delta y) \\ & = \dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y \Big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)\delta y\mathrm{d}x \end{aligned}\] 由于在一般的变分问题中，端点是固定的，因此端点处的变分为0。这样 \[\dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y \Big|_{a}^{b} = 0\] 从而 \[\begin{aligned} \delta J[y] & = \int_{a}^{b} \left[\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)\right]\delta y \mathrm{d}x \\ & = 0 \end{aligned}\] 由于上式对于任何的变分\(\delta y\)都成立，因此 \[\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)= 0\] 我们将上式称为Euler方程的第一种形式。在一些情况下，被积函数\(F = F(y, y')\)不显式含\(x\)，即\(\dfrac{\partial F}{\partial x} = 0\)，为了利用这一条件，注意到原来的Euler方程为 \[\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)= 0\] 因此如果我们能够凑出如下形式 \[\dfrac{\partial F}{\partial x} + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\text{某个表达式}) = 0\] 那么可以得到 \[\text{某个表达式} = 0\]

由于\(F(x, y, y')\)的全导数为 \[\dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\partial F}{\partial x} + \dfrac{\partial F}{\partial y} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \dfrac{\partial F}{\partial y'} \dfrac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}x}\] 因此 \[\begin{aligned} \dfrac{\partial F}{\partial x} & = \dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} - \dfrac{\partial F}{\partial y} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \dfrac{\partial F}{\partial y'} \dfrac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}x} \\ & = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F - y'\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)- y'\left[\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)\right] \end{aligned}\] 由Euler方程的第一种形式可得，上式的后一部分为0，从而 \[\dfrac{\partial F}{\partial x} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(F - y'\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)\] 如果\(F(y, y')\)不显式含\(x\)，那么我们有 \[F - y'\dfrac{\partial F}{\partial y'} = C\] ◻

复杂情况的Euler方程

对于较为复杂的情况，我们也可通过类似的操作得到Euler方程。在此我们直接给出结果

• 如果泛函\(J\)取决于变量\(x\)，\(s\)个独立的函数\(y_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)以及这些函数的一阶导数\(y_{\alpha}',\ \alpha = 1, 2, \dots, s\) \[J[y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}] = \int_{a}^{b}F(x, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}, y_{1}', y_{2}', \dots, y_{s}') \mathrm{d}x\] 并且边界是固定的，那么Euler方程为 \[\dfrac{\partial F}{\partial y_{\alpha}} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\dfrac{\partial F}{\partial y_{\alpha}'} \right)= 0,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\]

• 如果泛函\(J\)取决于变量\(x\)，函数\(y\)以及其高阶导数\(y', y'', y'''\) \[J[y, y', y'', y'''] = \int_{a}^{b}F(x, y, y', y'', y''') \mathrm{d}x\] 并且边界是固定的，那么Euler方程为 \[\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\dfrac{\partial F}{\partial y'} \right)+\dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y''} \right)- \dfrac{\mathrm{d}^{3}}{\mathrm{d}x^{3}}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'''} \right)= 0\]

• 如果泛函\(J\)取决于两个变量\(x,\ y\)，函数\(u(x, y)\)以及其偏导数\(\dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}\) \[J[u] = \int_{a}^{b}F\left(x, y, u, \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y} \right)\mathrm{d}x \mathrm{d}y\] 并且边界是固定的，那么Euler方程为 \[\dfrac{\partial F}{\partial u} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[\dfrac{\partial F}{\partial u_{x}} \right]- \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\dfrac{\partial F}{\partial u_{y}} \right]= 0\] 其中，\(u_{x} = \dfrac{\partial u}{\partial x}\)，\(u_{y} = \dfrac{\partial u}{\partial y}\)

约束条件下的变分问题

如果泛函\(J\)取决于变量\(x\)，\(s\)个的函数\(y_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)以及这些函数的一阶导数\(y_{\alpha}',\ \alpha = 1, 2, \dots, s\) \[J[y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}] = \int_{a}^{b}F(x, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}, y_{1}', y_{2}', \dots, y_{s}') \mathrm{d}x\] 并且边界是固定的，但是存在\(k(k < s)\)个如下形式的约束条件 \[c_{j} = \int_{a}^{b}G_{j}(x, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}, y_{1}', y_{2}', \dots, y_{s}') \mathrm{d}x, \quad j = 1, 2, \dots, k\] 其中，\(c_{j}\)为常数。那么Euler方程变为 \[\dfrac{\partial}{\partial y_{\alpha}}\left[F + \sum\limits_{j = 1}^{k}\lambda_{j}G_{j}\right]- \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\dfrac{\partial}{\partial y_{\alpha}'}\left[F + \sum\limits_{j = 1}^{\lambda}\lambda_{j}G_{j}\right]= 0,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 其中\(\lambda_{j}\)为常数。

Proof. 看起来我们依然可以得到 \[\int_{a}^{b} \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left[\dfrac{\partial F}{\partial y_{\alpha}} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\dfrac{\partial F}{\partial y_{\alpha}'} \right)\right]\delta y_{\alpha}\mathrm{d}x = 0,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 但此时\(\delta y_{\alpha}\)并不独立，因此我们不能直接得出上一节的Euler方程。为了解决这一问题，我们使用Lagrange乘数法。由于约束条件为 \[K_{j}[y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}] = \int_{a}^{b}G_{j}(x, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}, y_{1}', y_{2}', \dots, y_{s}') \mathrm{d}x = c_{j}\] 因此\(\delta K[y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}] = 0\)，从而我们可以仿照推导Euler方程的过程得到 \[\int_{a}^{b} \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left[\dfrac{\partial G_{j}}{\partial y_{\alpha}} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\dfrac{\partial G_{j}}{\partial y_{\alpha}'} \right)\right]\delta y_{\alpha}\mathrm{d}x = 0,\quad j = 1, 2, \dots, \alpha\] 由Lagrange乘数法可得，泛函 \[L = J[y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}] + \sum\limits_{j = 1}^{k}\lambda_{j}K_{j}[y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}]\] 的极值满足 \[\int_{a}^{b} \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\left\{\dfrac{\partial F}{\partial y_{\alpha}} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y_{\alpha}'} \right)+ \sum\limits_{j = 1}^{k}\lambda_{j}\left[\dfrac{\partial G_{j}}{\partial y_{\alpha}} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\partial G_{j}}{\partial y_{\alpha}'} \right)\right]\right\}\delta y_{\alpha} \mathrm{d}x = 0\] 由此可得 \[\dfrac{\partial}{\partial y_{\alpha}}\left[F + \sum\limits_{j = 1}^{k}\lambda_{j}G_{j}\right]- \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\dfrac{\partial}{\partial y_{\alpha}'}\left[F + \sum\limits_{j = 1}^{\lambda}\lambda_{j}G_{j}\right]= 0,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] ◻

Hamilton原理

位形空间的Hamilton原理

在Lagrange动力学中，我们得到过Lagrange方程 \[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \right)- \dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} = 0\] 不难看出，其形式与Euler方程相同。因此我们我们可以将Lagrange方程视为如下泛函取极值时需要满足的Euler方程 \[S[q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(t, q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{s})\mathrm{d}t\]

由此，我们可以将原本的Lagrange动力学总结为如下原理

在位形空间的力学系统从\(t_{1}\)到\(t_{2}\)的所有可能运动中，使Hamilton作用量 \[S[q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(t, q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{s})\mathrm{d}t\] 取极值的运动是实际发生的运动，也就是有下式成立 \[\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(t, q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{s})\mathrm{d}t = 0\]

相空间的Hamilton原理

在相空间的力学系统从\(t_{1}\)到\(t_{2}\)的所有可能运动中，满足 \[\left\{\begin{aligned} \dot{q}_{\alpha} & = \dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \\ \dot{p}_{\alpha} & = -\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right.\] 的运动是实际发生的运动。

Proof. 由于Hamilton函数为 \[H = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} - L\] 因此我们可以将Lagrange函数表示为 \[L = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} - H\] 将其带入位形空间的Hamilton原理中可得，取极值时有 \[\begin{aligned} \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} - H \right)\mathrm{d}t & = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \dot{q}_{\alpha}\delta p_{\alpha} + p_{\alpha}\delta\dot{q}_{\alpha} - \dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}\delta p_{\alpha} - \dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\delta q_{\alpha} \right)\mathrm{d}t \\ & = 0 \\ \end{aligned}\] 回忆一下之前推导Euler方程组时的思路，在无约束的情况下，函数\(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}\)是相互独立的。由此我们可以直接使用\(\delta y_{1}, \delta y_{2}, \dots, \delta y_{n}\)之间相互独立得到每一项得到Euler方程组。由于我们考虑的是位形空间，因此需要将\(\delta \dot{q}_{\alpha}\)替换为\(\delta q_{\alpha}\)，从而使用独立性得到方程。这里有一个常见的变换关系 \[f(x)\dfrac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[f(x)g(x) \right]- g(x)\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\] 由此可得 \[\begin{aligned} \int_{t_{1}}^{t_{2}}p_{\alpha} \delta \dot{q}_{\alpha} \mathrm{d}t & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(p_{\alpha} \delta q_{\alpha} \right)- \dot{p}_{\alpha}\delta q_{\alpha} \right]\mathrm{d}t \\ & = \left(p_{\alpha}\delta q_{\alpha} \right)\big|_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}}\dot{p}_{\alpha}\delta q_{\alpha} \mathrm{d}t \\ \end{aligned}\] 由于力学系统的初始位形和最终位形一般是给定的，因此\(\delta q_{\alpha}|_{t_{1}} = \delta q_{\alpha}|_{t_{2}} = 0\)，这样 \[\int_{t_{1}}^{t_{2}}p_{\alpha} \delta \dot{q}_{\alpha} \mathrm{d}t = -\int_{t_{1}}^{t_{2}}\dot{p}_{\alpha}\delta q_{\alpha} \mathrm{d}t\] 从而原等式变为 \[\begin{aligned} \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \dot{q}_{\alpha}\delta p_{\alpha} -\dot{p}_{\alpha}\delta q_{\alpha} - \dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}\delta p_{\alpha} - \dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\delta q_{\alpha} \right)\mathrm{d}t & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left[\left(\dot{q}_{\alpha} - \dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \right)\delta p_{\alpha} - \left(\dot{p}_{\alpha} + \dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}}\right)\delta q_{\alpha} \right]\mathrm{d}t \end{aligned}\] 由于坐标是相互独立的，因此不难得到结果。 ◻

位形世界的Hamilton原理

在位形世界中，我们将时间\(t\)视为与广义坐标地位相同的变量，也就是说\(t\)相当于第\(s + 1\)个广义坐标。此时我们将这\(s + 1\)个广义变量记为参数\(\tau\)的参数方程形式 \[\left\{\begin{aligned} q_{\alpha} & = q_{\alpha}(\tau) \\ t & = t(\tau) \\ \end{aligned}\right.\] 由于 \[\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}q_{\alpha}}{\mathrm{d}t} & = \dfrac{\mathrm{d}q_{\alpha}}{\mathrm{d}\tau} \dfrac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} \\ & = \dfrac{q_{\alpha}'}{t'} \end{aligned}\] 因此Hamilton作用量为 \[\begin{aligned} S & = \int L\left(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{s}, t, \dfrac{q_{1}'}{t'}, \dfrac{q_{2}'}{t'}, \dots, \dfrac{q_{s}'}{t'}\right)t' \mathrm{d}\tau \\ & = \int \varLambda \mathrm{d}\tau \end{aligned}\] 其中，\(\varLambda = L(q, t, \dfrac{q'}{t})t'\)。由此我们有

在位形世界的力学系统的所有可能运动中，满足 \[\delta \int \varLambda \mathrm{d}\tau = 0\] 也就是如下Euler方程 \[\left\{\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau} \left(\dfrac{\partial \varLambda}{\partial q_{\alpha}'} \right)- \dfrac{\partial \varLambda}{\partial q_{\alpha}} &= 0,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\dfrac{\partial \varLambda}{\partial t'} \right)- \dfrac{\partial \varLambda}{\partial t} & =0 \end{aligned}\right.\] 的运动是实际运动。

此时，广义动量的定义变化为 \[\begin{aligned} p_{\alpha} & = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \\ & = \dfrac{\partial \varLambda}{\partial q_{\alpha}'} \end{aligned}\] 这样时间\(t\)对应的广义动量为 \[\begin{aligned} p_{t} & = \dfrac{\partial \varLambda}{\partial t'} \\ & = \dfrac{\partial }{\partial t'} \left[L(q, t, \dfrac{q'}{t'})t' \right]\\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\dfrac{\partial}{\partial t'}\left(\dfrac{q_{\alpha}'}{t'} \right)t' + L \\ & = L -\sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\dfrac{q_{\alpha}'}{t'^{2}}t' \\ & = L - \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} \\ & = -H \\ \end{aligned}\]

最小作用量原理

可遗坐标与Hamilton原理

在存在可遗坐标的情况下，Lagrange函数的形式需要发生变化。为了推导最小作用量原理，我们先给出以下引理

如果Lagrange函数\(L\)中不显式含有广义坐标\(q_{1}\)，那么如果我们想要不考虑该广义坐标与广义动量的影响，那么需要将原本的Hamilton原理修改为 \[\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left(L - p_{1}\dot{q}_{1} \right)\mathrm{d}t = 0\]

Proof. 我们已知如果\(q_{1}\)是可遗坐标，那么\(p_{1}\)是守恒的。这样通过 \[p_{1} = \dfrac{\partial }{\partial \dot{q}_{1}} L(q_{2}, \dots, q_{s}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{s}, t)\] 可以解出\(\dot{q}_{1}\)，也就是得到使用\(\alpha \neq 1\)的\(q_{\alpha}\)和\(\dot{q}_{\alpha}\)以及\(p_{1}\)来表示\(\dot{q}_{1}\)的表达式 \[\dot{q}_{1} = \dot{q}_{1}(q_{2}, \dots, q_{s}, p_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{s})\]

看起来，既然我们已经从Lagrange函数中消除了\(\alpha = 1\)的自由度的影响，那么我们好像不需要进行修改，直接将原本的Hamilton原理套过来即可。但实际上，由于此时\(q_{1}\)是由其他变量的函数，因此\(\delta q_{1}\)并不是一个独立的变分，从而\(\delta q_{1}|_{t_{1}}\)和\(\delta q_{1}|_{t_{2}}\)并不一定为0。这似乎有点类似在非完整约束条件下力学问题，但我们在此时不能使用Lagrange乘数法来解决这一问题。一方面，不同于一般的约束条件，此时的广义动量守恒是系统的內禀性质，因此无需引入一个外部的约束；另一方面，要想使用Lagrange乘数法，约束一般需要是一个静态的条件，比如 \[c_{j} = \int_{a}^{b}G_{j}(x, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{s}, y_{1}', y_{2}', \dots, y_{s}') \mathrm{d}x, \quad j = 1, 2, \dots, k\] 这样我们才有\(\displaystyle\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}G(x, y, y') = 0\)，从而能够使用Lagrange乘数法。而此时的条件为一个微分方程\(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}} = p_{1}\)，不太适合使用Lagrange乘数法。

为了消除这一自由度的影响，我们考虑计算变分 \[\begin{aligned} \delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L \mathrm{d}t & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left[\dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\delta q_{\alpha} + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\delta \dot{q}_{\alpha}\right]\mathrm{d}t \\ & = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left[\dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha} + \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \delta q_{\alpha} \right)-\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \right)\delta q_{\alpha} \right]\mathrm{d}t \\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left[\dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_{\alpha}} \right)\right]\delta q_{\alpha}\mathrm{d}t + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\delta q_{\alpha} \right)\\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \delta q_{\alpha} \right)\Bigg|_{t_{1}}^{t_{2}} \\ & = (p_{1}\delta q_{1})|_{t_{1}}^{t_{2}} \\ \end{aligned}\] 考虑到广义动量\(p_{1}\)守恒，我们有 \[\delta(p_{1}q_{1})|_{t_{1}}^{t_{2}} = (p_{1}\delta q_{1})|_{t_{1}}^{t_{2}}\] 从而 \[\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \left(L - p_{1}\dot{q}_{1} \right)\mathrm{d}t = 0\] ◻

不难看出，此时被积函数 \[L - p_{1}\dot{q}_{1}\] 似乎是一种介于Lagrange函数与Hamilton函数之间的函数，我们可以将其称为修正的Lagrange函数。

Jacobi最小作用量原理

在位形世界中，\(t\)也变成了一个广义坐标。由前所述，时间\(t\)对应的广义动量为 \[p_{t} = - H\] 当Lagrange函数不显式含时\(t\)时，Hamilton函数\(H\)是守恒的。这样在位形世界中，此时\(t\)变成了可遗坐标，从而位形世界的Lagrange函数应当被修正为 \[\begin{aligned} \varLambda - p_{t}t' & = (L - p_{t})t' \\ & = (L + H)t' \\ & = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} t' \end{aligned}\] 由此我们定义一个新的量

在位形世界中，我们将Jacobi作用量定义为 \[W = \int \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha} \dot{q}_{\alpha} t' \mathrm{d}\tau\] 其中，\(q_{\alpha}\)和\(t\)可以表示为\(\tau\)的函数。

这样我们可以得到如下定理

\[\Delta \int \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha} \dot{q}_{\alpha} \mathrm{d}t = 0\] 其中，\(\Delta\)为全变分。

Proof. 由于在位形世界中，Hamilton原理表示为 \[\delta \int \varLambda \mathrm{d}\tau = 0\] 这样由于此时\(\varLambda\)被修正了，因此Hamilton原理变为 \[\begin{aligned} \Delta W & = \Delta \int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha}t' \mathrm{d}\tau \\ & = 0 \\ \end{aligned}\] 此处\(\Delta\)表示包括时间变分在内的全变分，其可以表示为 \[\Delta q_{\alpha} = \delta q_{\alpha} + \dot{q}_{\alpha}\Delta t\] 上面给出的Hamilton原理也可以表示为 \[\Delta \int \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} \mathrm{d}t = 0\] ◻

Hamilton原理和最小作用量原理的区别

Hamilton原理和最小作用量原理的区别

比较项目	Hamilton原理	最小作用量原理
作用量	Hamilton函数	Jacobi作用量
变分类型	等式变分	全变分
可能的运动类型	等能而不等时	等时而不等能
适用的体系	理想有势系统	保守系统