Hamilton力学
Hamilton正则方程
Hamilton正则方程的推导
从现在开始，我们所研究的系统中仅含有完整约束，并且主动力都是具有势能或广义势能的。这样系统满足如下的Lagrange方程 \[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} = 0\]
我们先直接给出Hamilton正则方程，然后给出推导
对于仅含有完整约束，并且主动力都具有势能或广义势能的系统，我们有如下方程 \[\left\{\begin{aligned} \dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} & = -\dot{p}_{\alpha} \\ \dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} & = \dot{q}_{\alpha} \\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\]
Proof. 我们在前面定义了广义动量为 \[p_{\alpha} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\] 这样由Lagrange方程可得 \[\dot{p}_{\alpha} = \dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\] 这样，我们可以用\(2s\)个一阶微分方程来描述一个力学系统。
如果我们想要用广义坐标\(q_{\alpha}\)和广义动量\(p_{\alpha}\)代替广义坐标\(q_{\alpha}\)和广义速度\(\dot{q}_{\alpha}\)，也就是将Lagrange函数视为复合函数 \[\bar{L}(q, p, t) = L[q, \dot{q}(q, p, t), t]\]
按照求导规则可得 \[\left\{\begin{aligned} \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial q_{\alpha}} & = \dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} + \sum\limits_{\beta}^{s}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\beta}}\dfrac{\partial \dot{q}_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}\\ \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial p_{\alpha}} & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\beta}} \dfrac{\partial\dot{q}_{\beta}}{\partial p_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right., \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] 将广义动量的表达式和广义动量时间变化率的表达式代入上式可得 \[\left\{\begin{aligned} \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial q_{\alpha}} & = \dot{p}_{\alpha} + \sum\limits_{\beta}^{s}p_{\alpha} \dfrac{\partial \dot{q}_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}\\ \dfrac{\partial \bar{L}}{\partial p_{\alpha}} & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s} p_{\beta}\dfrac{\partial\dot{q}_{\beta}}{\partial p_{\alpha}} \\ \end{aligned}\right., \quad \alpha = 1, 2, \dots, s\]
由于上式中存在与具体广义速度表达式相关的偏导数\(\dfrac{\partial \dot{q}_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}\)和\(\dfrac{\partial\dot{q}_{\beta}}{\partial p_{\alpha}}\)，因此我们需要将这种与具体形式相关的形式变为一般形式。
如果我们认为\(p_{\alpha}\)和\(q_{\alpha}\)相互无关，那么上式右侧的表达式可以分别表示为 \[\left\{\begin{aligned} \sum\limits_{\beta = 1}^{s} p_{\beta}\dfrac{\partial \dot{q}_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} & =\sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial}{\partial q_{\alpha}} \left(p_{\beta}\dot{q}_{\beta} \right)\\ \sum\limits_{\beta = 1}^{s} p_{\beta}\dfrac{\partial \dot{q}_{\beta}}{\partial p_{\alpha}} & = \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial}{\partial p_{\alpha}} \left(p_{\beta}\dot{q}_{\beta} \right)- \dot{q}_{\alpha}\\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1,2, \dots, s\] 这样原方程组变为 \[\left\{\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial q_{\alpha}} \left(\sum\limits_{\beta = 1}^{s} p_{\beta}\dot{q}_{\beta} - \bar{L} \right)& = -\dot{p}_{\alpha} \\ \dfrac{\partial}{\partial p_{\alpha}} \left(\sum\limits_{\beta}^{s}p_{\beta}\dot{q}_{\beta} - \bar{L} \right)& = \dot{q}_{\alpha} \\ \end{aligned}\right.\] 我们在前面已经将上式中括号内部分定义为广义能量函数，我们将其称为Hamilton函数，这样可得 \[\left\{\begin{aligned} \dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} & = -\dot{p}_{\alpha} \\ \dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} & = \dot{q}_{\alpha} \\ \end{aligned}\right.,\quad \alpha = 1, 2, \dots, s\] ◻
由此我们可以得到如下结论
使用广义坐标\(q_{\alpha}\)和广义速度\(\dot{q}_{\alpha}\)描述运动时，Lagrange函数\(L(q, \dot{q}, t)\)起主导作用，运动规律表示为Lagrange方程
使用广义坐标\(q_{\alpha}\)和广义动量\(p_{\alpha}\)描述运动时，Hamilton函数\(H(p, q, t)\)起主导作用，运动规律表示为Hamilton方程
运动积分
如同Lagrange动力学中有广义动量积分和广义能量积分，Hamilton动力学中也有这些运动积分
广义动量积分
假如Hamilton函数中不含有某个广义坐标\(q_{\alpha}\)，那么其对应的广义动量为守恒的，即 \[p_{\alpha} = C\]
Proof. 假如Hamilton函数中不含有某个广义坐标，即 \[\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} = 0\] 那么由Hamilton方程可得 \[\dfrac{\mathrm{d}p_{\alpha}}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} = 0\] 这样广义动量\(p_{\alpha}\)为 \[p_{\alpha} = C\] ◻
如同Lagrange动力学中将守恒的广义动量\(p_{\alpha}\)对应的广义坐标\(q_{\alpha}\)称为可遗坐标一样，我们也可以将Hamilton动力学中将守恒的广义动量\(p_{\alpha}\)对应的广义坐标\(q_{\alpha}\)称为可遗坐标。
如果在Lagrange动力学中广义坐标\(q_{\alpha}\)为可遗坐标，那么其在Hamilton动力学中也为可遗坐标。反之，如果如果在Hamilton动力学中广义坐标\(q_{\alpha}\)为可遗坐标，那么其在Lagrange动力学中也为可遗坐标。
Proof. 由Hamilton函数的定义可得 \[H(q, p, t) = \sum\limits_{\beta = 1}^{s}p_{\beta}\dot{q}_{\beta}(p, q, t) - L[q, \dot{q}(p, q, t), t]\] 将Hamilton函数对\(q_{\alpha}\)求偏导可得 \[\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} = \sum\limits_{\beta}^{s} p_{\beta}\dfrac{\partial \dot{q}_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} - \left[\dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}} + \sum\limits_{\beta = 1}^{s} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\beta}} \dfrac{\partial \dot{q}_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \right]\] 将广义动量的定义代入可得 \[\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} = -\dfrac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\] 因此如果在Lagrange动力学中广义坐标\(q_{\alpha}\)为可遗坐标，那么由上式可得其在Hamilton动力学中也为可遗坐标。反之亦然。 ◻
虽然在Lagrange动力学和Hamilton动力学中可遗坐标是相同的，但由于Lagrange函数的定义为 \[L = L(q, \dot{q}, t)\] 因此尽管其中可能不含有某个广义坐标\(q_{\alpha}\)，但有可能含有广义速度\(\dot{q}_{\alpha}\)，问题并没有因此得到简化。但在Hamilton动力学中，Hamilton函数的定义为 \[H = H(q, p ,t)\] 因此如果其中不含有某个广义坐标\(q_{\alpha}\)，那么其对应的广义动量\(p_{\alpha}\)守恒，从而问题得到了简化（自由度减小）。
广义能量积分
假如Hamilton函数中不显式含时，即 \[\dfrac{\partial H}{\partial t} = 0\] 那么Hamilton函数为守恒的，即 \[H = C\]
Proof. 对于Hamilton函数\(H(q, p, t)\)，我们先计算其时间变化率 \[\dfrac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}}\dot{p}_{\alpha} + \dfrac{\partial H}{\partial t}\] 将Hamilton正则方程代入上式可得 \[\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} & = -\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \dot{p}_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \dot{q}_{\alpha}\dot{p}_{\alpha} + \dfrac{\partial H}{\partial t} \\ & = \dfrac{\partial H}{\partial t} \end{aligned}\] 如果Hamilton不显式含时，那么\(\dfrac{\partial H}{\partial t} = 0\)，那么\(\dfrac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = 0\)，也就是Hamilton守恒 ◻
在此基础上，我们可以得到如下结论
Lagrange函数对时间的偏导数等于Hamilton对时间的全导数的负数 \[\dfrac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{\partial L}{\partial t}\]
Proof. 用Legendre变换，占位 ◻
使用Hamilton正则方程的流程
使用Hamilton正则方程计算大致需要经过以下过程：
写出Lagrange函数\(L(q, p, t)\)
求广义动量\(p_{\alpha} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\)
将广义速度\(\dot{q}_{\alpha}\)记为\(\dot{q}_{\alpha} = \dot{q}_{\alpha}(q, p, t)\)
写出Hamilton函数\(\displaystyle H = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s}p_{\alpha}\dot{q}_{\alpha} - L\)
由Hamilton正则方程求解
相空间
相空间的概念
我们将以广义坐标\(q_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)和广义动量\(p_{\alpha},\ \alpha = 1, 2, \dots, s\)为变量，由标准基构成的\(2s\)维空间称为相空间。
不难想到，在相空间中，每个点都代表系统的一种可能状态。如果我们用统计物理学中的系综来考虑，那么相空间中的每个点对应系综中的一个系统，而相空间中的一条曲线就代表了某个系统的演化过程。为了能够描述系统的演化过程规律，Liouville提出了Liouville定理。
Liouville定理
系统的代表点在相空间中运动时，代表点的密度\(\rho\)不变。
Proof. 由于系综中存在大量的系统，因此我们可以将相空间中代表点的密度定义为 \[\rho(q, p, t) = \dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}V}\] 其中，\(\mathrm{d}V = \mathrm{d}q_{1}\mathrm{d}q_{2}\dots\mathrm{d}q_{n}\mathrm{d}p_{1}\mathrm{d}p_{2}\dots \mathrm{d}p_{n}\)，\(\mathrm{d}N\)为\(\mathrm{d}V\)中的代表点个数。对密度求其对于时间的全导数可得 \[\dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial p_{\alpha}}\dot{p}_{\alpha} + \dfrac{\partial \rho}{\partial q_{\alpha}}\dot{q}_{\alpha} \right)\] 其中，第一项表示单纯由于时间变化而导致的密度变化，第二项表示由于代表点在相空间中运动引起的密度变化率。这样，只要我们证明了上式右侧部分为0，就可以证明\(\dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = 0\)，也就是代表点在相空间中运动时，代表点的密度不变。
假设在相空间中存在一个体积元\(\mathrm{d}V = \mathrm{d}^{3N}q\mathrm{d}^{3N}p\)，那么体积元中的代表点数量变化率为 \[\begin{aligned} r & = \dfrac{\partial}{\partial t}\int_{V} \rho\ \mathrm{d}V \\ & = \int_{V} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} \mathrm{d}V \end{aligned}\] 如果我们假设体积元表面积为\(\mathrm{d}S\)，那么代表点离开体积元的速率为 \[-r = \oint_{S} \rho \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\] 其中，\(\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}(\dot{q}, \dot{p})\)。由散度定理可得 \[\begin{aligned} \oint_{S} \rho\boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} & = \int_{V} \nabla \cdot \left(\rho\boldsymbol{v} \right)\mathrm{d}V \\ & = \int_{V}\left[\sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial q_{\alpha}}\dot{q}_{\alpha} + \dfrac{\partial \rho}{\partial p_{\alpha}}\dot{p}_{\alpha} \right)+ \rho\sum\limits_{\alpha}^{s} \left(\dfrac{\partial \dot{q}_{\alpha}}{\partial q_{\alpha}} + \dfrac{\partial \dot{p}_{\alpha}}{\partial p_{\alpha}} \right)\right]\mathrm{d}V \end{aligned}\] 对于上式中括号内部的第二项，由于 \[\begin{aligned} \dfrac{\partial \dot{q}_{\alpha}}{\partial q_{\alpha}} & = \dfrac{\partial}{\partial q_{\alpha}} \left(\dot{q}_{\alpha} \right)\\ & = \dfrac{\partial}{\partial q_{\alpha}} \left(\dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} \right)\\ & = \dfrac{\partial}{\partial p_{\alpha}} \left(\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \right)\\ & = -\dfrac{\partial \dot{p}_{\alpha}}{\partial p_{\alpha}} \end{aligned}\] 从而第二项为0。由此可得 \[\int_{V} \left[\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial q_{\alpha}}\dot{q}_{\alpha} + \dfrac{\partial \rho}{\partial p_{\alpha}}\dot{p}_{\alpha} \right)\right]\mathrm{d}V = 0\] 由于体积元选择的任意性，因此被积函数必定处处为0，从而 \[\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial q_{\alpha}}\dot{q}_{\alpha} + \dfrac{\partial \rho}{\partial p_{\alpha}}\dot{p}_{\alpha} \right)= 0\] 由于代表点密度\(\rho(q, p, t)\)对于时间的全导数为 \[\dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial q_{\alpha}}\dot{q}_{\alpha} + \dfrac{\partial \rho}{\partial p_{\alpha}}\dot{p}_{\alpha} \right)\] 因此有 \[\dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = 0\] 也就是说，任何位置的代表点密度都是常数。 ◻
位力定理
位力定理是描述系统在平衡状态下动能与势能的统计平均关系的定理。
系统动能的平均值与系统中每个质点所受力以及位矢的关系为 \[\langle T \rangle= -\dfrac{1}{2} \bigg\langle\sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i} \bigg\rangle\]
Proof. 我们先来定义一个物理量 \[S = \sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol{r}_{i} \cdot \boldsymbol{p}_{i}\] 其中，\(\boldsymbol{p}_{i} = m_{i}\dot{\boldsymbol{r}}_{i}\)。因此\(S\)的时间变化率为 \[\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} & = \sum\limits_{i = 1}^{n} \left(\dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \boldsymbol{p}_{i} + \boldsymbol{r}_{i} \cdot \dot{\boldsymbol{p}}_{i} \right)\\ & = \sum\limits_{i = 1}^{n} \left(\dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot m_{i}\dot{\boldsymbol{r}}_{i} + \boldsymbol{r}_{i} \cdot \boldsymbol{F}_{i} \right)\\ & = 2T + \sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol{r}_{i} \cdot \boldsymbol{F}_{i} \end{aligned}\] 假设系统的运动是周期性的，那么对于周期\(T = \tau\)，有\(S(\tau) = S(0)\)。如果我们将\(S\)对于每个周期取平均，那么 \[\begin{aligned} \bigg \langle \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} \bigg \rangle & = \dfrac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t \\ & = \dfrac{S(\tau) - S(0)}{\tau} \\ & = 0 \end{aligned}\] 由此可得 \[\langle 2T \rangle+ \left\langle \sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol{r}_{i} \cdot \boldsymbol{F}_{i} \right\rangle = 0\] 也就是 \[\langle T \rangle= -\dfrac{1}{2} \left\langle \sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol{r}_{i} \cdot \boldsymbol{F}_{i} \right\rangle\] ◻
之所以我们将这个定理称为位力定理，是因为Clausius将\(\boldsymbol{r}_{i} \cdot \boldsymbol{F}_{i}\)称为virial，中文将其翻译为位力。
如果作用力是保守力，那么我们有如下推论
如果作用于质点\(i\)上的力\(\boldsymbol{F}_{i}\)均为保守力，那么 \[\langle T \rangle= \dfrac{1}{2}\left\langle \sum\limits_{i = 1}^{n} \boldsymbol{r}_{i} \cdot \nabla_{i} V \right\rangle\]
Possion括号
力学量的时间变化率
在前面推导Liouville定理时，我们曾得到相空间代表点密度的时间变化率为 \[\dfrac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \rho}{\partial q_{\alpha}}\dot{q}_{\alpha} + \dfrac{\partial \rho}{\partial p_{\alpha}}\dot{p}_{\alpha} \right)\] 实际上不难看出，对于任意一个力学量\(\varphi = \varphi(q, p, t)\)，都有 \[\begin{aligned} \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} & = \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial q_{\alpha}}\dot{q}_{\alpha} + \dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dot{p}_{\alpha} \right)\\ & = \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} + \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial q_{\alpha}}\dfrac{\partial H}{\partial p_{\alpha}} -\dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial H}{\partial q_{\alpha}} \right)\\ \end{aligned}\]
Possion括号
从上式求和部分得到启发，我们定义如下符号
对于两个力学量\(\varphi(q, p, t)\)和\(\psi(q, p, t)\)，我们将Possion括号定义为 \[[\varphi, \psi] = \sum\limits_{\alpha = 1}^{s} \left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial q_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial p_{\alpha}} -\dfrac{\partial \varphi}{\partial p_{\alpha}}\dfrac{\partial \psi}{\partial q_{\alpha}} \right)\]
这样，一般情况下力学量的时间变化率可以表示为 \[\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} + [\varphi, H]\] 由定义不难得到以下性质
含常数的Possion括号为0 \[[\varphi, C] = 0\]
两项相同的Possion括号为0 \[[\varphi, \varphi] = 0\]
Possion括号具有反对称性 \[[\varphi, \psi] = -[\psi, \varphi]\]
Possion括号满足分配律 \[\left[\varphi, \sum\limits_{j = 1}^{n}c_{j}\psi_{j} \right]= \sum\limits_{j = 1}^{n}c_{j}[\varphi, \psi_{j}]\]
Possion括号满足结合律 \[[\varphi, \psi_{1}\psi_{2}] = \psi_{1}[\varphi, \psi_{2}] + [\varphi, \psi_{1}]\psi_{2}\]
Possion的求导法则如下 \[\dfrac{\partial}{\partial t}[\varphi, \psi] = \left[\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}, \psi \right]+ \left[\varphi, \dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right]\]
Jacobi恒等式：对于三个力学量\(\varphi(q, p, t), \psi(q, p, t), \theta(q, p, t)\)，有 \[[\varphi, [\psi, \theta]] + [\psi, [\theta, \varphi]] + [\theta, [\varphi, \psi]] = 0\]
Possion定理
如果\(\varphi\)和\(\psi\)是运动积分，那么\([\varphi, \psi]\)也是运动积分
Proof. 首先回顾一下什么是运动积分：在系统运动过程中，存在某些广义坐标\(q_{\alpha}\)和广义速度\(\dot{q}_{\alpha}\)的函数不随时间变化，我们将这些函数称为运动积分。由此，运动积分应当满足 \[\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = 0\] 由于一般情况下力学量的时间变化率满足 \[\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} + [\varphi, H]\] 因此运动积分满足 \[[\varphi, H] = -\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}\]
假设有两个运动积分\(\varphi\)和\(\psi\)，那么 \[\left\{\begin{aligned} \relax [\varphi, H] & = -\dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \\ [\psi, H] & = -\dfrac{\partial \psi}{\partial t} \\ \end{aligned}\right.\] 代入Jacobi恒等式可得 \[\begin{aligned} \left[\varphi, \left[\psi, H \right]\right]+ \left[\psi, \left[H, \varphi \right]\right]+ \left[H, \left[\varphi, \psi \right]\right]& = \left[\varphi, -\dfrac{\partial \psi}{\partial t} \right]+ \left[\psi, \dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \right]+ \left[H, \left[\varphi, \psi \right]\right]\\ & = \dfrac{\partial}{\partial t}\left[\psi, \varphi \right]+ [H, [\varphi, \psi]] = 0\\ \end{aligned}\] 由此可得 \[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\varphi, \psi] = [[\varphi, \psi], H] + \dfrac{\partial}{\partial t}[\varphi, \psi] = 0\] 由此可以看出，\([\varphi, \psi]\)也为运动积分。 ◻
在证明了有关运动积分的Possion定理后，我们给出Liouville可积性的定义
对于有\(s\)个自由度的力学系统，如果可以找到\(s\)个相互独立的运动积分\(\phi_{i},\ i = 1, 2, \dots, s\)，并且 \[[\phi_{\alpha}, \phi_{\beta}] = 0,\quad \alpha, \beta = 1, 2, \dots, s\]